Chain, product, quotient and implicit differentiation · Dérivation par la chaîne, produit, quotient et implicite
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| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | règle de composition |
Does the inside expression change too?
- A cost curve is a power of a changing expression. Differentiating the outer power alone misses the rate of its input.
- This lesson studies chain rule 链式法则: The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function.
L'expression intérieure change-t-elle aussi ?
- Une courbe de coût est une puissance d'une expression variable. Dériver uniquement la puissance extérieure omet le taux de variation de son entrée.
- Cette leçon étudie la règle de chaîne : la règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée.
Choose the mathematical structure
- For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). For uv, differentiate to u prime v+uv prime. For u/v, use (u prime v-uv prime)/v², where v≠0.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Pour y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Pour uv, dérivez vers u prime v+uv prime. Pour u/v, utilisez (u prime v-uv prime)/v², où v≠0.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines chain rule? · Quelle description définit correctement la règle de la chaîne ?
The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. · La règle qui multiplie la dérivée externe par la dérivée interne pour une fonction composée.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. At x=0, the gradient is 12. For x²+y²=25, differentiate implicitly: 2x+2y y prime=0, so y prime=-x/y when y≠0.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Pour y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. En x=0, la pente est 12. Pour x²+y²=25, dérivez implicitement : 2x+2y y prime=0, donc y prime=-x/y lorsque y≠0.
Chain, product, quotient and implicit differentiation · Dérivation par la chaîne, produit, quotient et implicite
For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x) · Pour y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x)
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
Find the derivative of (3x+1)^4 at x=0. · Trouver la dérivée de (3x+1)^4 en x=0.
Chain rule gives 4(3x+1)³×3; at zero this is 12. · La règle de la chaîne donne 4(3x+1)³×3 ; en zéro, cela vaut 12.
Test a tempting shortcut
- A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Dans la dérivation implicite, chaque fonction dérivée de y apporte un facteur dy/dx. Le dénominateur d'un quotient est au carré.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
La dérivée de u(x)v(x) est toujours u prime fois v prime. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
For x²+y²=25, find dy/dx at (3,4). · Pour x²+y²=25, trouver dy/dx au point (3,4).
Implicit differentiation gives 2x+2y y prime=0, so y prime=-3/4. · La dérivation implicite donne 2x+2y y prime=0, donc y prime=-3/4.
The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. · La dérivée de u(x)v(x) est toujours égale à u prime fois v prime.
A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared. · La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Dans la dérivation implicite, chaque fonction dérivée de y apporte un facteur dy/dx. Le dénominateur d'un quotient est mis au carré.
Interpret a new situation
- Choose a useful form before differentiating: expanding a short polynomial may be simpler. For related rates, write the relation in symbols, differentiate with respect to time, then substitute measured values.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Choisissez une forme utile avant de dériver : développer un court polynôme peut être plus simple. Pour les taux liés, écrivez la relation en symboles, dérivez par rapport au temps, puis substituez les valeurs mesurées.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For y=xe^x, find dy/dx at x=0. · Pour y=xe^x, trouver dy/dx en x=0.
Product rule gives e^x+xe^x; at zero this is 1. · La règle du produit donne e^x+xe^x ; en zéro, cela vaut 1.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- 7357 · A-level · G. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- 7357 · A-level · G. Assortissez le niveau cible et la spécification avant d'attribuer les extensions.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
La règle qui multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure pour une fonction composée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.