Change in Tandem · Changement en tandem
| English | Français |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | entrée |
| output/ˈaʊtpʊt/ | production |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | croissante |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | décroissante |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalle |
| concavity/kənˈkævɪti/ | concavité |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux de variation |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | concave vers le haut |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | concave vers le bas |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | point de retournement |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | maximum local |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | minimum local |
Watch the water climb
- Pour water into a glass at a steady rate and watch the level rise.
- In a straight glass the level climbs steadily; in a curvy vase it speeds up and slows down.
- Two quantities — the water poured and the height — change together, in tandem.
- Precalculus starts by describing exactly how one quantity changes as another one does.
Regardez l'eau monter
- Versez de l'eau dans un verre à débit constant et observez le niveau s'élever.
- Dans un verre droit, le niveau monte régulièrement ; dans un vase incurvé, il accélère et ralentit.
- Deux quantités — l'eau versée et la hauteur — évoluent ensemble, en tandem.
- Les précalculs commencent par décrire exactement comment une quantité change alors qu'une autre change.
A function links an input to an output
- A function takes an input 输入 (a value of $x$) and returns exactly one output 输出 (written $f(x)$).
- As the input changes, the output changes with it — that is change in tandem.
- We write $f(2)$ to mean "the output when the input is $2$".
- So the whole story of a function is one question: as $x$ moves, where does $f(x)$ go?
Une fonction relie une entrée à une sortie
- Une fonction prend une entrée 输入 (une valeur de $x$) et retourne exactement une sortie 输出 (écrite $f(x)$).
- Lorsque l'entrée change, la sortie change avec elle — c'est-à-dire qu'elles changent en tandem.
- Nous écrivons $f(2)$ pour dire « la sortie lorsque l'entrée est $2$ ».
- Donc toute l'histoire d'une fonction se résume à une question : alors que $x$ bouge, où va $f(x)$ ?
Increasing, decreasing, or constant
- Pick an interval 区间 — a stretch of the input axis — and follow the output from left to right.
- The function is increasing 递增 where the output rises as the input moves right.
- It is decreasing 递减 where the output falls as the input moves right.
- It is constant 常数 where the output stays level.
- You can read this straight off a graph: uphill is increasing, downhill is decreasing.
Croissante, décroissante ou constante
- Choisissez un intervalle 区间 — un segment de l'axe des entrées — et suivez la sortie de gauche à droite.
- La fonction est croissante 递增 là où la sortie monte lorsque l'entrée se déplace vers la droite.
- Elle est décroissante 递减 là où la sortie descend lorsque l'entrée se déplace vers la droite.
- Elle est constante 常数 là où la sortie reste plate.
- On peut lire cela directement sur un graphique : en pente ascendante = croissant, en pente descendante = décroissant.
A function is increasing on an interval when… · Une fonction est croissante sur un intervalle quand…
Increasing is about direction, not size: move right along the input and the output climbs. It can be increasing while its values are still negative. · Croissant concerne la direction, pas la taille : déplacez-vous vers la droite sur l'entrée et la sortie grimpe. Elle peut être croissante alors que ses valeurs sont encore négatives.
If a graph is perfectly flat (horizontal) over an interval, the function is constant · constante there. · Si un graphique est parfaitement plat (horizontal) sur un intervalle, la fonction est constante là.
A flat graph means the output does not change as the input changes — that is exactly what constant means. · Un graphique plat signifie que la sortie ne change pas quand l'entrée change — c'est exactement ce que constant signifie.
Concavity: is the change speeding up or slowing down?
- Even while a curve keeps increasing, its rate of change 变化率 (how fast the output moves) can itself change.
- Concavity 凹凸性 describes which way the curve bends.
- Concave up 凹 — the curve bends upward like a cup, so the rate of change is increasing.
- Concave down 凸 — the curve bends downward like a dome, so the rate of change is decreasing.
- The curvy vase again: where it narrows, the height climbs faster and faster (concave up).
Concavité : la variation accélère-t-elle ou ralentit-elle ?
- Même si une courbe continue de croître, son taux de variation 变化率 (la vitesse à laquelle la sortie bouge) peut lui-même changer.
- La concavité 凹凸性 décrit dans quelle direction la courbe s'incurve.
- Concave vers le haut 凹 — la courbe s'incurve vers le haut comme une coupe, donc le taux de variation augmente.
- Concave vers le bas 凸 — la courbe s'incurve vers le bas comme un dôme, donc le taux de variation diminue.
- Le vase incurvé encore : là où il se rétrécit, la hauteur monte de plus en plus vite (concave vers le haut).
Saying a curve is concave up tells you that… · Dire qu'une courbe est concave vers le haut vous dit que…
Concave up bends like a cup: the rate of change itself is rising. A curve can be concave up while it is going down — think of a slide flattening out at the bottom. · Concave vers le haut se courbe comme une tasse : la taux de variation lui-même augmente. Une courbe peut être concave vers le haut tout en descendant — pensez à une glissade qui s'aplatit au fond.
Turning points: local maxima and minima
- Where a curve stops increasing and starts decreasing, it reaches a local maximum 极大值 — a peak.
- Where it stops decreasing and starts increasing, it reaches a local minimum 极小值 — a valley.
- Each such peak or valley is a turning point 转折点.
- "Local" means highest or lowest nearby — not necessarily over the whole graph.
Points critiques : maxima et minima locaux
- Là où une courbe cesse de croître et commence à décroître, elle atteint un maximum local 极大值 — un sommet.
- Là où elle cesse de décroître et commence à croître, elle atteint un minimum local 极小值 — un creux.
- Chaque sommet ou creux est un point critique 转折点.
- « Local » signifie le plus haut ou le plus bas à proximité — pas nécessairement sur tout le graphique.
The tangent's slope IS the rate of change · La pente de la tangente EST le taux de variation
f(x) = x³ − 3x
Drag the point and read the tangent's slope — positive where the curve rises, negative where it falls, and zero at a turning point. · Glissez le point pour lire la pente de la tangente — positive où la courbe monte, négative où elle descend, et nulle à un point d'inflexion.
A point where a graph stops increasing and starts decreasing is a local ____. · Un point où un graphique cesse d'augmenter et commence à diminuer est un ____ local.
At a local maximum the curve turns from uphill to downhill — a peak that is highest compared with nearby points. · À un maximum local, la courbe passe de montante à descendante — un sommet qui est le plus élevé comparé aux points voisins.
Look at the curve in the figure. Select all · tout the true statements. · Regardez la courbe dans la figure. Sélectionnez tous les énoncés vrais.
The curve rises, turns at a peak, falls to a valley, then rises again. It is not · non concave up everywhere — it bends down near the peak and up near the valley. · La courbe monte, s'infléchit à un sommet, descend jusqu'à un creux, puis remonte à nouveau. Elle n'est pas concave vers le haut partout — elle s'infléchit vers le bas près du sommet et vers le haut près du creux.
"Increasing" and "concave up" are different ideas. Increasing is about the output going up; concave up is about the rate of change going up. A curve can be decreasing and concave up at the same time — falling, but flattening out as it falls.
« Croissante » et « concave vers le haut » sont des concepts différents. Croissante concerne la sortie qui monte ; concave vers le haut concerne le taux de variation qui monte. Une courbe peut être décroissante et concave vers le haut en même temps — descendant, mais s'aplatissant pendant sa descente.
Comparing two outputs
- To compare a function at two inputs $a$ and $b$, compare their outputs $f(a)$ and $f(b)$.
- If $b > a$ and $f(b) > f(a)$, the output grew as the input grew.
- The net change in output from $a$ to $b$ is simply $f(b) - f(a)$.
- If the function returns to the same value, the net change is zero — even if it rose and fell along the way.
Comparer deux sorties
- Pour comparer une fonction à deux entrées $a$ et $b$, comparez leurs sorties $f(a)$ et $f(b)$.
- Si $b > a$ et $f(b) > f(a)$, la sortie a augmenté alors que l'entrée augmentait.
- La variation nette de la sortie entre $a$ et $b$ est simplement $f(b) - f(a)$.
- Si la fonction revient à la même valeur, la variation nette est zéro — même si elle a monté et descendu en chemin.
A function has $f(2) = 5$ and · et $f(6) = 5$. What is the net change in output from $x = 2$ to · à $x = 6$? · Une fonction a $f(2) = 5$ et $f(6) = 5$. Quel est le changement net en sortie de $x = 2$ à $x = 6$ ?
Net change $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. The output ended where it started — even though it may have risen and fallen in between. · Changement net $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. La sortie s'est terminée là où elle avait commencé — même si elle a pu augmenter et diminuer entre les deux.
Match each term to what it describes. · Reliez chaque terme à ce qu'il décrit.
Increasing/decreasing describe the output's direction; concavity describes how the rate of change itself is changing; a local maximum is where the direction flips. · Croissant/décroissant décrit la direction de la sortie ; la concavité décrit comment le taux de variation lui-même évolue ; un maximum local est où la direction s'inverse.
A cup of tea cools from 90°C to room temperature.
- Temperature (output) is decreasing the whole time — it never goes back up.
- But it falls fast at first, then slowly: the curve is concave up.
- There is no local maximum or minimum in between — the direction never flips.
Une tasse de thé refroidit de 90°C à la température ambiante.
- La température (sortie) est décroissante tout au long — elle ne remonte jamais.
- Mais elle chute rapidement au début, puis lentement : la courbe est concave vers le haut.
- Il n'y a ni maximum ni minimum local intermédiaire — la direction ne change jamais.
A function's behaviour is read from its graph: it is increasing or decreasing on intervals, its concavity tells you whether the rate of change is speeding up or slowing down, and its turning points are the local maxima and minima where the direction flips.
Le comportement d'une fonction se lit sur son graphique : il est croissant ou décroissant sur des intervalles, sa concavité vous dit si le taux de variation accélère ou ralentit, et ses points critiques sont les maxima et minima locaux où la direction change.