Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · Volume avec la méthode des rondelles : rotation autour d'autres axes
| English | Français |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | extérieur |
| inner/ˈɪnə/ | interne |
Washers around a shifted line
- The last piece: revolve a two-curve region around a line that isn't the $x$- or $y$-axis.
- Combine the two ideas you just learned: washers (a gap → a ring) and a shifted axis (adjust the radius).
- The formula stays $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; only $R$ and $r$ get re-measured to the new line.
- Get both distances right and the calculus is routine.
Disques creux autour d'une ligne décalée
- Le dernier morceau : tournez une région à deux courbes autour d'une ligne qui n'est ni l'axe des $x$ ni celui des $y$.
- Combinez les deux idées apprises : disques creux (un espace → une bague) et axe décalé (ajustez le rayon).
- La formule reste $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ ; seuls $R$ et $r$ sont re-mesurés vers la nouvelle ligne.
- Obtenez bien les deux distances et le calcul est routine.
Both radii measured to the new axis
- For a horizontal axis $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ and $r=|\text{near curve}-k|$.
- Each radius is the distance from its curve to the shifted line, not to $y=0$.
- The outer 外 radius reaches the curve farther from the axis; the inner 内 radius the nearer one.
- Then $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ as usual.
Les deux rayons mesurés vers le nouvel axe
- Pour un axe horizontal $y=k$ : $R=|\text{far curve}-k|$ et $r=|\text{near curve}-k|$.
- Chaque rayon est la distance de sa courbe à la ligne décalée, pas à $y=0$.
- Le rayon extérieur 外 reachs la courbe la plus éloignée de l'axe ; le rayon intérieur 内 reachs la plus proche.
- Puis $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ comme d'habitude.
Two curves above a shifted axis · Deux courbes au-dessus d'un axe décalé
y = ax² + bx
Revolving about $y=-1$, both radii grow by $1$ — outer $\sqrt x+1$, inner $x+1$; still $R^2-r^2$. · Rotation autour de $y=-1$, les deux rayons augmentent de $1$ — exterior $\sqrt x+1$, intérieur $x+1$ ; toujours $R^2-r^2$.
Revolving the region between $y=\sqrt x$ and · et $y=x$ about $y=-1$, the outer and inner radii are... · Rotation de la région entre $y=\sqrt x$ et $y=x$ autour de $y=-1$, les rayons extérieurs et intérieurs sont...
Shift · Maj both · les deux radii by $+1$ down to $y=-1$. · Décalez les deux rayons de $+1$ vers le bas jusqu'à $y=-1$.
For a shifted axis, you must re-measure ____ radii (outer and inner) to the new line. · Pour un axe décalé, vous devez re-mesurer ____ les rayons (extérieur et intérieur) vers la nouvelle droite.
Shift both, not just one. · Décalez les deux, pas seulement l'un.
Watch which curve is now farther
- Shifting the axis can swap which curve is outer vs. inner — re-check after moving the line.
- Revolving about a line below the region: the lower curve is now the inner one (nearer the axis).
- Revolving about a line above the region: the roles flip.
- Always identify outer/inner relative to the actual axis of revolution.
Surveillez quelle courbe est maintenant plus éloignée
- Déplacer l'axe peut inverser quelle courbe est extérieure vs intérieure — vérifiez après avoir déplacé la ligne.
- Rotation autour d'une ligne sous la région : la courbe inférieure est maintenant l'intérieure (plus près de l'axe).
- Rotation autour d'une ligne au-dessus de la région : les rôles s'inversent.
- Identifiez toujours extérieur/intérieur par rapport à l'axe réel de rotation.
After shifting the axis, you should... · Après avoir décalé l'axe, vous devriez...
The axis position can swap outer/inner roles. · La position de l'axe peut inverser les rôles extérieur/intérieur.
Still: square each radius first
- As with any washer, subtract $R^2-r^2$ — square the (shifted) radii before subtracting.
- Never $(R-r)^2$, and never reuse the plain-axis radii.
- Draw the two distance segments from the axis to each curve to keep them straight.
- Then integrate along the appropriate variable.
Toujours : élévez d'abord chaque rayon au carré
- Comme pour tout disque creux, soustrayez $R^2-r^2$ — elevez les rayons (décalés) au carré avant de soustraire.
- Jamais $(R-r)^2$, et ne réutilisez jamais les rayons d'axe simples.
- Dessinez les deux segments de distance de l'axe à chaque courbe pour garder vos repères.
- Ensuite intégrez selon la variable appropriée.
Even about a shifted axis, the washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$. · Même autour d'un axe décalé, l'intégrande de la méthode des rondelles est $R^2-r^2$, pas $(R-r)^2$.
Always square each radius before subtracting. · Élevez toujours chaque rayon au carré avant de soustraire.
The volume for $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ on $[0,1]$ about $y=-1$ is... · Le volume pour $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ sur $[0,1]$ autour de $y=-1$ est...
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
The shifted-washer method combines which two ideas? · La méthode des rondelles décalées combine quelles deux idées ?
Washer (gap → ring) plus a shifted radius. · Rondelle (écart → anneau) plus un rayon décalé.
Two combined pitfalls here: (1) shift both radii to the new axis (not just one), and (2) still use $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$. After shifting, re-check which curve is outer — the axis's position can swap the roles. Sketch both radius segments to the actual line before squaring.
Deux pièges combinés ici : (1) décalez les deux rayons vers le nouvel axe (pas seulement l'un), et (2) utilisez toujours $R^2-r^2$, pas $(R-r)^2$. Après le décalage, vérifiez quelle courbe est extérieure — la position de l'axe peut inverser les rôles. Esquissez les deux segments de rayon vers la ligne réelle avant de squarer.
Revolve the region between $y=\sqrt x$ (top) and $y=x$ (bottom) on $[0,1]$ about the line $y=-1$.
- Shift both radii down to $y=-1$: outer $R=\sqrt x+1$, inner $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
Faites tourner la région entre $y=\sqrt x$ (haut) et $y=x$ (bas) sur $[0,1]$ autour de la ligne $y=-1$.
- Décalez les deux rayons vers le bas jusqu'à $y=-1$ : extérieur $R=\sqrt x+1$, intérieur $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
The washer method about a shifted axis: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, but re-measure both the outer and inner radii to that line (e.g. add the shift for $y=k$ below the region). Re-check which curve is outer, and always square each radius before subtracting — never $(R-r)^2$.
La méthode des anneaux autour d'un axe décalé : $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, mais re-mesurez les deux rayons extérieurs et intérieurs jusqu'à cette ligne (par exemple, ajoutez le décalage pour $y=k$ en dessous de la région). Revérifiez quelle courbe est extérieure, et mettez toujours chaque rayon au carré avant de soustraire — jamais $(R-r)^2$.