Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · Volumes avec sections transversales : Carrés et rectangles
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| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | sections transversales |
Stacking up thin slabs into a solid
- Integration also finds volumes, not just areas — by adding up thin slices of a solid.
- Slice a solid perpendicular to an axis; each slice is a thin slab of some cross-sectional area $A(x)$.
- Add them up: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — the integral of the cross-sectional area.
- This lesson covers solids whose cross sections 横截面 are squares or rectangles.
Empiler de fines dalles en un solide
- L'intégration trouve aussi des volumes, pas seulement des aires — en additionnant de fines tranches d'un solide.
- Trancher un solide perpendiculairement à un axe ; chaque tranche est une fine dalle d'une certaine aire de section transversale $A(x)$.
- Les additionner : $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — l'intégrale de l'aire de section transversale.
- Cette leçon couvre des solides dont les sections transversales 横截面 sont des carrés ou des rectangles.
The general volume formula
- If the cross section at $x$ has area $A(x)$ and thickness $dx$, its tiny volume is $A(x)\,dx$.
- Sum over the solid: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Everything reduces to: write the cross-sectional area as a function of $x$, then integrate.
- The hard part is the geometry of one slice, not the calculus.
La formule générale du volume
- Si la section transversale à $x$ a une aire $A(x)$ et une épaisseur $dx$, son petit volume est $A(x)\,dx$.
- Somme sur tout le solide : $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Tout se réduit à : écrire l'aire de section transversale comme une fonction de $x$, puis intégrer.
- La partie difficile est la géométrie d'une tranche, pas le calcul.
The volume of a solid with cross-sectional area $A(x)$ is... · Le volume d'un solide avec aire de section transversale $A(x)$ est...
Add up slabs $A(x)\,dx$. · Additionner les lamelles $A(x)\,dx$.
To use $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the cross-section slices must be... · Pour utiliser $V=\int_a^b A(x)\,dx$, les tranches de section transversale doivent être...
Slices are perpendicular to the axis you integrate along. · Les tranches sont perpendiculaires à l'axe le long duquel on intègre.
Square cross sections
- A common setup: cross sections are squares with base sitting on the region between two curves.
- If the base length is $s(x)$ (often $f(x)-g(x)$, the gap between curves), a square's area is $s(x)^2$.
- So $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- The base of each square spans the region; its area is base-squared.
Sections transversales carrées
- Configuration fréquente : les sections sont des carrés dont la base repose sur la région entre deux courbes.
- Si la longueur de la base est $s(x)$ (souvent $f(x)-g(x)$, l'écart entre les courbes), l'aire d'un carré est $s(x)^2$.
- Donc $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- La base de chaque carré s'étend sur la région ; son aire est base-carrée.
The base region under √x · La région de base sous √x
y = a·√x
Each square slice sits on the base; its side is the height $\sqrt{x}$, so its area is $(\sqrt{x})^2=x$. · Chaque tranche carrée repose sur la base ; son côté est la hauteur $\sqrt{x}$, donc son aire est $(\sqrt{x})^2=x$.
For square cross sections with base $s(x)$, the area is... · Pour des sections transversales carrées avec base $s(x)$, l'aire est...
A square of side $s$ has area $s^2$. · Un carré de côté $s$ a une aire $s^2$.
The base length of a cross section is often the distance between the boundary curves, $f(x)-g(x)$. · La longueur de base d'une section transversale est souvent la distance entre les courbes de bordure, $f(x)-g(x)$.
The base spans the region between the curves. · La base couvre la région entre les courbes.
Rectangular cross sections
- For rectangles, the area is base $\times$ height: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- The height might be a fixed multiple of the base, or given separately in the problem.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Read the problem carefully to get the height rule right.
Sections transversales rectangulaires
- Pour des rectangles, l'aire est base $\times$ × hauteur : $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- La hauteur peut être un multiple fixe de la base, ou donnée séparément dans l'énoncé.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Lire attentivement l'énoncé pour appliquer correctement la règle de hauteur.
Base under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$, square cross sections: $A(x)=x$. Find $V=\int_0^4 x\,dx$. · Base sous $y=\sqrt x$ sur $[0,4]$, sections transversales carrées : $A(x)=x$. Trouver $V=\int_0^4 x\,dx$.
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
For rectangular cross sections, area = base ____ height. · Pour des sections transversales rectangulaires, aire = base ____ hauteur.
$A=s\cdot h$ for a rectangle. · $A=s\cdot h$ pour un rectangle.
The base length $s(x)$ is usually the distance between the boundary curves ($f(x)-g(x)$) or between a curve and an axis — figure out what spans the base before squaring. For squares, the area is $s(x)^2$ (don't forget to square the whole gap). Slices must be perpendicular to the axis you integrate along.
La longueur de base $s(x)$ est généralement la distance entre les courbes limites ($f(x)-g(x)$) ou entre une courbe et un axe — déterminez ce qui spanne la base avant de mettre au carré. Pour les carrés, l'aire est $s(x)^2$ (n'oubliez pas de mettre au carré toute la différence). Les tranches doivent être perpendiculaires à l'axe selon lequel vous intégrez.
A solid has base the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $4$, with square cross sections perpendicular to the $x$-axis.
- The base of each square is $s(x)=\sqrt{x}$ (curve to $x$-axis).
- Cross-sectional area: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
Un solide a pour base la région sous $y=\sqrt{x}$ de $x=0$ à $4$, avec des sections transversales carrées perpendiculaires à l'axe $x$.
- La base de chaque carré est $s(x)=\sqrt{x}$ (courbe à l'axe $x$).
- Aire de section transversale : $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
A solid's volume is $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the integral of its cross-sectional area. For square cross sections with base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; for rectangles, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Find the base $s(x)$ (often the gap between curves), write $A(x)$, and integrate.
Le volume d'un solide est $V=\int_a^b A(x)\,dx$, l'intégrale de son aire de la section transversale. Pour des sections transversales carrées avec une base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$ ; pour des rectangles, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Trouvez la base $s(x)$ (souvent l'écart entre les courbes), écrivez $A(x)$, et intégrez.