Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · Trouver l'aire entre courbes exprimées comme fonctions de y
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| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | coupe horizontale |
Slice sideways instead of up-and-down
- Some regions are awkward with vertical strips — a sideways-opening parabola, say.
- The fix: slice into horizontal strips and integrate with respect to $y$ instead of $x$.
- Everything from the last lesson turns 90°: curves become functions of $y$, and you subtract right minus left.
- Same idea, rotated: add up horizontal gap-widths.
Trancher latéralement plutôt qu'en haut et en bas
- Certaines régions sont maladroites avec des bandes verticales — une parabole ouverte latéralement, par exemple.
- La solution : trancher en bandes horizontales et intégrer par rapport à $y$ au lieu de $x$.
- Tout ce qui a été vu dans la leçon précédente tourne de 90° : les courbes deviennent des fonctions de $y$, et on soustrait droite moins gauche.
- Même idée, en rotation : additionner les largeurs d'écart horizontal.
Right minus left
- Write the boundaries as functions of $y$: $x=f(y)$ (rightmost) and $x=g(y)$ (leftmost).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Each horizontal slice 水平切片 has width $f(y)-g(y)$ and height $dy$.
- Subtract rightmost minus leftmost so the width stays positive.
Droite moins gauche
- Écrire les limites comme des fonctions de $y$ : $x=f(y)$ (la plus à droite) et $x=g(y)$ (la plus à gauche).
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$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Chaque tranche horizontale 水平切片 a une largeur $f(y)-g(y)$ et une hauteur $dy$.
- Soustraire droite moins gauche pour que la largeur reste positive.
A sideways-opening parabola · Une parabole orientée horizontalement
y = ax² + bx + c
When curves open sideways, horizontal slices (right minus left, integrated in $y$) are the clean choice. · Lorsque les courbes s'ouvrent latéralement, des tranches horizontales (droite moins gauche, intégrées en $y$) sont le choix le plus simple.
With horizontal slices, the area is $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ where... · Avec des tranches horizontales, l'aire est $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ où...
Horizontal strips: right curve minus left curve. · Tranches horizontales : courbe de droite moins courbe de gauche.
Bounds are now $y$-values
- The limits $c$ and $d$ are the lowest and highest $y$ of the region — often the curves' intersection $y$-values.
- Solve $f(y)=g(y)$ (in terms of $y$) for those bounds.
- Between them, test which curve is farther right.
- Then integrate the right-minus-left width from $c$ to $d$.
Les bornes sont maintenant des valeurs $y$
- Les limites $c$ et $d$ sont les valeurs $y$ les plus basses et les plus hautes de la région — souvent les valeurs d'intersection $y$ des courbes.
- Résoudre $f(y)=g(y)$ (en fonction de $y$) pour obtenir ces bornes.
- Entre elles, tester quelle courbe est la plus à droite.
- Ensuite, intégrer la largeur (droite-moins-gauche) de $c$ à $d$.
For a $dy$ integral, the limits of integration are... · Pour une intégrale en $dy$, les limites d'intégration sont...
Integrating in $y$ means $y$-limits. · Intégrer en $y$ signifie des limites $y$.
Where do $x=y^2$ and · et $x=y+2$ intersect (in $y$)? · Où $x=y^2$ et $x=y+2$ se coupent-ils (en $y$) ?
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
When to choose $dy$ over $dx$
- Prefer horizontal slices when the curves are naturally $x=$(function of $y$), or when vertical slices would need splitting.
- A region bounded on the left and right by different curves (but top/bottom by single points) is a $dy$ situation.
- If the "upper" curve would change midway with vertical slices, horizontal slices may avoid the split.
- Pick whichever orientation makes each strip span one clean curve to one clean curve.
Quand choisir $dy$ plutôt que $dx$
- Préférer les tranches horizontales lorsque les courbes sont naturellement $x=$(fonction de $y$), ou si des tranches verticales nécessiteraient un découpage.
- Une région délimitée à gauche et à droite par des courbes différentes (mais en haut/bas par des points uniques) est une situation $dy$.
- Si la courbe "supérieure" changerait en cours de route avec des tranches verticales, des tranches horizontales peuvent éviter ce découpage.
- Choisir l'orientation qui fait que chaque bande s'étend d'une courbe propre à une courbe propre.
The area bounded by $x=y^2$ and · et $x=y+2$ is $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Compute it (a decimal). · L'aire bornée par $x=y^2$ et $x=y+2$ est $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Calculer (un décimal).
It evaluates to $\tfrac92=4.5$. · Elle évalue à $\tfrac92=4.5$.
For a horizontal-slice integral, you should write each boundary as $x$ in terms of $y$. · Pour une intégrale à tranches horizontales, on doit écrire chaque frontière comme $x$ en fonction de $y$.
The strips run horizontally, so express $x$ as a function of $y$. · Les bandes sont horizontales, donc exprimer $x$ en fonction de $y$.
Horizontal slices are preferable when... · Les tranches horizontales sont préférables lorsque...
Sideways curves suit $dy$ integration. · Les courbes orientées latéralement conviennent à l'intégration en $dy$.
With horizontal slices you integrate right minus left in terms of $y$, and the limits are $y$-values (not $x$-values). Mixing them up — using $x$-limits with a $dy$ integral, or subtracting top-minus-bottom sideways — gives a wrong answer. Rewrite each boundary curve as $x$ in terms of $y$ first.
Avec des tranches horizontales, on intègre droite moins gauche en termes de $y$, et les bornes sont des valeurs $y$ (pas des valeurs $x$). Les mélanger — utiliser des bornes $x$ avec une intégrale $dy$, ou soustraire supérieur-moins-inférieur latéralement — donne une mauvaise réponse. Réécrire chaque courbe limite sous la forme $x$ en fonction de $y$ d'abord.
Find the area bounded by $x=y^2$ and $x=y+2$.
- Intersections (in $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line $x=y+2$ is farther right (test $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
Trouver l'aire délimitée par $x=y^2$ et $x=y+2$.
- Intersections (en $y$) : $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- Sur $(-1,2)$, la droite $x=y+2$ est plus à droite (tester $y=0$ : $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
For curves given as functions of $y$, use horizontal slices: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, integrating rightmost minus leftmost with $y$-limits from the intersections. Choose $dy$ when it lets each strip run cleanly from one curve to another without splitting.
Pour des courbes données comme des fonctions de $y$, utiliser des tranches horizontales : $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, intégrant droite la plus à droite moins gauche la plus à gauche avec des bornes $y$ issues des intersections. Choisir $dy$ lorsqu'il permet à chaque tranche de parcourir proprement d'une courbe à l'autre sans découpage.