Defining Average and Instantaneous Rates of Change at a Point · Définir les taux de variation moyen et instantané en un point
| English | Français |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux moyen de variation |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux de variation instantané |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | quotient différentiel |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | corde |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | tangente |
From "over an interval" to "at an instant"
- Unit 1 built the idea of a limit. Now we use it to measure change.
- Over an interval, the average rate of change 平均变化率 is total change ÷ interval width.
- At a single instant, the instantaneous rate of change 瞬时变化率 is what a speedometer shows.
- The bridge between them is a limit — and that bridge is the whole point of Unit 2.
De "sur un intervalle" à "à un instant"
- L'Unité 1 a établi l'idée de limite. Maintenant nous l'utilisons pour mesurer le changement.
- Sur un intervalle, le taux de variation moyen 平均变化率 est le changement total ÷ largeur de l'intervalle.
- À un instant unique, le taux de variation instantané 瞬时变化率 est ce que montre un compteur de vitesse.
- Le pont entre les deux est une limite — et ce pont est tout l'objet de l'Unité 2.
Average rate = slope of a secant
- The average rate of change of $f$ from $x=a$ to $x=b$ is the difference quotient 差商:
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Geometrically this is the slope of the secant line 割线 joining $\big(a,f(a)\big)$ and $\big(b,f(b)\big)$.
- It is an average: it smooths over everything that happened between $a$ and $b$.
Taux moyen = pente d'une sécante
- Le taux de variation moyen de $f$ de $x=a$ à $x=b$ est le quotient de différence 差商 :
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Géométriquement, c'est la pente de la droite sécante 割线 reliant $\big(a,f(a)\big)$ et $\big(b,f(b)\big)$.
- C'est une moyenne : elle lisse tout ce qui s'est produit entre $a$ et $b$.
Find the average rate of change of $f(x)=x^2$ on $[1,3]$. · Trouvez le taux de variation moyen de $f(x)=x^2$ sur $[1,3]$.
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
The average rate of change over an interval equals the slope of the... · Le taux de variation moyen sur un intervalle est égal à la pente de la...
Average rate = rise over run between the two endpoints = secant slope. · Taux moyen = élévation sur course entre les deux points extrêmes = pente de la sécante.
Shrink the interval
- To get the rate at $x=a$, slide $b$ toward $a$ and watch the secant slope.
- As the interval shrinks, the secant pivots toward the tangent line 切线 at $a$.
- The limiting slope is the instantaneous rate of change at $a$.
- No time actually passes at an instant — the limit is what makes "rate at a point" meaningful.
Réduire l'intervalle
- Pour obtenir le taux en $x=a$, faites glisser $b$ vers $a$ et observez la pente de la sécante.
- Alors que l'intervalle se réduit, la sécante pivote vers la tangente 切线 en $a$.
- La pente limite est le taux de variation instantané en $a$.
- Aucun temps ne s'écoule réellement à un instant — c'est la limite qui rend le "taux en un point" significatif.
Slide the secant into a tangent · Faire glisser la sécante jusqu'à la tangente
y = x²
Move the point along $y=x^2$ — the tangent slope you read off is the instantaneous rate, the limit of the secant slopes. · Déplacez le point le long de $y=x^2$ — la pente de la tangente que vous lisez correspond au taux instantané, c'est-à-dire la limite des pentes des sécantes.
The instantaneous rate of change at a point equals the slope of the ____ line there. · Le taux de variation instantané en un point est égal à la pente de la ligne ____ à cet endroit.
It is the limit of secant slopes as the interval shrinks — the tangent slope. · C'est la limite des pentes des sécantes lorsque l'intervalle se réduit — la pente de la tangente.
Reading the rate in context
- The sign tells direction: positive rate → increasing, negative → decreasing.
- The size tells speed: a bigger magnitude means faster change.
- Units matter: for position in metres over time in seconds, the rate is in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — a velocity.
- So average rate = secant slope (over an interval); instantaneous rate = tangent slope (at a point).
Lire le taux dans son contexte
- Le signe indique la direction : taux positif → croissant, négatif → décroissant.
- L'amplitude indique la rapidité : une magnitude plus grande signifie un changement plus rapide.
- Les unités comptent : pour une position en mètres sur un temps en secondes, le taux est en $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — une vitesse.
- Donc taux moyen = pente de la sécante (sur un intervalle) ; taux instantané = pente de la tangente (en un point).
If the average rate of change of $f$ on $[0,4]$ is $0$, then $f$ must be constant on $[0,4]$. · Si le taux de variation moyen de $f$ sur $[0,4]$ est $0$, alors $f$ doit être constant sur $[0,4]$.
It only means $f(0)=f(4)$; $f$ could rise then fall (e.g. go out and come back). · Cela signifie seulement que $f(0)=f(4)$ ; $f$ pourrait augmenter puis diminuer (par ex. aller et revenir).
For · Pour $f(x)=x^2$, average rates on $[3,3.1]$ and · et $[3,3.01]$ are $6.1$ and · et $6.01$. Estimate the instantaneous rate at $x=3$. · Pour $f(x)=x^2$, les taux moyens sur $[3,3.1]$ et $[3,3.01]$ sont $6.1$ et $6.01$. Estimez le taux instantané à $x=3$.
The averages close in on $6$. · Les moyennes convergent vers $6$.
A position function has instantaneous rate $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ at time $t$. Select all · tout correct readings. · Une fonction de position a un taux instantané $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ au temps $t$. Sélectionnez toutes les lectures correctes.
Negative rate = moving in the negative direction (so position decreases); its magnitude is the speed; and it is the tangent slope. · Taux négatif = déplacement dans la direction négative (donc la position diminue) ; sa magnitude est la vitesse ; et c'est la pente de la tangente.
Average and instantaneous rates are not interchangeable. The average rate over $[a,b]$ can be zero while the instantaneous rate is large at every interior point (imagine going out and coming back). Only in the limit of a shrinking interval does the average rate become the instantaneous rate.
Les taux moyens et instantanés ne sont pas interchangeables. Le taux moyen sur $[a,b]$ peut être nul alors que le taux instantané est grand à chaque point intérieur (imaginez aller et revenir). Seulement dans la limite d'un intervalle en réduction le taux moyen devient le taux instantané.
For $f(x)=x^2$, find the average rate on $[2,4]$ and estimate the instantaneous rate at $x=2$.
- Average on $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- Shrink toward $2$: on $[2,2.1]$, $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$; on $[2,2.01]$, $4.01$.
- The average rates close in on $4$ — the instantaneous rate at $x=2$ is $4$.
Pour $f(x)=x^2$, trouvez le taux moyen sur $[2,4]$ et estimez le taux instantané en $x=2$.
- Moyen sur $[2,4]$ : $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- Réduire vers $2$ : sur $[2,2.1]$, $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$ ; sur $[2,2.01]$, $4.01$.
- Les taux moyens convergent vers $4$ — le taux instantané en $x=2$ est $4$.
The average rate of change over $[a,b]$ is the difference quotient $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — the slope of a secant line. Shrinking the interval, the secant approaches the tangent line, whose slope is the instantaneous rate of change at that point.
Le taux de variation moyen sur $[a,b]$ est le quotient de différence $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — la pente d'une droite sécante. Réduire l'intervalle, la sécante approche la tangente, dont la pente est le taux de variation instantané à cet endroit.