Connecting Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes · Relier les limites à l'infini aux asymptotes horizontales
| English | Français |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | comportement aux bornes |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | limites à l'infini |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote horizontale |
Zoom out: what happens far away?
- Instead of $x\to c$, now let $x$ run off to $+\infty$ or $-\infty$.
- This describes the function's end behavior 末端行为 — its shape at the far left and far right.
- We write $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: as $x$ grows huge, $f$ settles toward $L$.
- These are limits at infinity 无穷远处的极限, and they reveal horizontal trends.
Zoom arrière : que se passe-t-il au loin ?
- Au lieu de $x\to c$, laissez maintenant $x$ s'éloigner vers $+\infty$ ou $-\infty$.
- Cela décrit le comportement asymptotique 末端行为 de la fonction — sa forme à l'extrême gauche et à l'extrême droite.
- On écrit $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ : lorsque $x$ devient énorme, $f$ se stabilise vers $L$.
- Ce sont des limites à l'infini 无穷远处的极限, qui révèlent les tendances horizontales.
Race of the highest powers
- For a rational function, end behavior is a race between the top and bottom degrees.
- Bottom wins (denominator higher degree): $f\to0$. Example $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- Tie (equal degrees): $f\to$ the ratio of leading coefficients. Example $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- Top wins (numerator higher degree): $f\to\pm\infty$ — no horizontal asymptote (it grows).
Course des puissances dominantes
- Pour une fonction rationnelle, le comportement asymptotique est une course entre les degrés du numérateur et du dénominateur.
- Le dénominateur gagne (degré plus élevé) : $f\to0$. Exemple $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- Égalité (degrés égaux) : $f\to$ le rapport des coefficients dominants. Exemple $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- Le numérateur gagne (degré plus élevé) : $f\to\pm\infty$ — aucune asymptote horizontale (la fonction croît).
A curve that flattens far out · Une courbe qui s'aplatit à l'éloignement
y = a / (x − b) + d
Slide $x$ toward the edges — a reciprocal-type curve flattens toward a horizontal asymptote as $x\to\pm\infty$. · Faire glisser $x$ vers les bords — une courbe de type réciproque s'aplatit vers une asymptote horizontale lorsque $x\to\pm\infty$.
What is $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$? · Quelle est la valeur de $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$ ?
Denominator degree is higher, so the fraction shrinks to $0$. · Le degré du dénominateur est plus élevé, donc la fraction tend vers $0$.
Select all · tout rational functions with horizontal asymptote $y=0$. · Sélectionnez toutes les fonctions rationnelles ayant une asymptote horizontale $y=0$.
Denominator degree higher → $y=0$. The third ties in degree, giving $y=3$ instead. · Degré du dénominateur supérieur → $y=0$. Le troisième a des degrés égaux, donnant $y=3$ au lieu de cela.
The horizontal asymptote
- If $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (a finite number), the line $y=L$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.
- The graph flattens out and runs alongside $y=L$ far from the origin.
- Trick: divide every term by the highest power of $x$ in the denominator, then send $x\to\infty$ (each $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
L'asymptote horizontale
- Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (un nombre fini), la droite $y=L$ est une asymptote horizontale 水平渐近线.
- Le graphique s'aplatit et longe $y=L$ loin de l'origine.
- Astuce : divisez chaque terme par la plus haute puissance de $x$ dans le dénominateur, puis faites tendre $x\to\infty$ (chaque $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
Evaluate · Évaluer $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$. · Évaluez $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$.
Equal degrees → ratio of leading coefficients $\frac31=3$. · Degres égaux → rapport des coefficients dominants $\frac31=3$.
A finite limit at infinity, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, gives a ____ asymptote $y=L$. · Une limite finie à l'infini, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, donne une asymptote horizontale $y=L$.
The graph flattens toward $y=L$. · Le graphique s'aplatit vers $y=L$.
The two ends can differ
- A function may approach one value as $x\to+\infty$ and a different value as $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ on the right but $\to-\tfrac{\pi}{2}$ on the left — two horizontal asymptotes.
- So always check both directions; don't assume symmetry.
- Unlike a vertical asymptote (a break in the middle), a horizontal asymptote is about the far-away trend, and a curve may even cross it.
Les deux extrémités peuvent différer
- Une fonction peut tendre vers une valeur lorsque $x\to+\infty$ et vers une valeur différente lorsque $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ à droite mais $\to-\tfrac{\pi}{2}$ à gauche — deux asymptotes horizontales.
- Vérifiez toujours les deux sens ; ne supposez pas la symétrie.
- Contrairement à une asymptote verticale (une rupture au milieu), une asymptote horizontale concerne la tendance lointaine, et une courbe peut même la traverser.
A graph can cross its horizontal asymptote in the middle and still approach it at the ends. · Un graphique peut traverser son asymptote horizontale au milieu tout en s'en approchant aux extrémités.
Horizontal asymptotes describe far-away behavior only; crossing in the middle is allowed. · Les asymptotes horizontales décrivent uniquement le comportement à l'infini ; une traversée au milieu est autorisée.
For · Pour $\arctan x$, the two limits $\lim_{x\to+\infty}$ and · et $\lim_{x\to-\infty}$ are... · Pour $\arctan x$, les deux limites $\lim_{x\to+\infty}$ et $\lim_{x\to-\infty}$ sont...
The two ends can differ — here two horizontal asymptotes. · Les deux extrémités peuvent différer — ici, deux asymptotes horizontales.
A vertical asymptote and a horizontal asymptote are different beasts. Vertical ($x=c$): the output blows up at a specific input — a graph never crosses it. Horizontal ($y=L$): the far-away trend as $x\to\pm\infty$ — a graph may cross it in the middle and still approach it at the ends.
Une asymptote verticale et une asymptote horizontale sont très différentes. Verticale ($x=c$) : la sortie explose pour une entrée spécifique — un graphique ne la traverse jamais. Horizontale ($y=L$) : la tendance lointaine lorsque $x\to\pm\infty$ — un graphique peut la traverser au milieu tout en s'en approchant aux extrémités.
Find $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ and the horizontal asymptote.
- Degrees tie (both $2$), so divide by $x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- As $x\to\infty$, the $\tfrac3x$ and $\tfrac7{x^2}$ terms $\to0$.
- Limit $=\dfrac{2}{5}$, so $y=\tfrac25$ is the horizontal asymptote.
Trouvez $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ et l'asymptote horizontale.
- Égalité des degrés (tous deux $2$), donc diviser par $x^2$ : $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- Lorsque $x\to\infty$, les termes $\tfrac3x$ et $\tfrac7{x^2}$ $\to0$.
- Limite $=\dfrac{2}{5}$, donc $y=\tfrac25$ est l'asymptote horizontale.
Limits at infinity describe end behavior. For rationals: denominator wins → $0$; degrees tie → ratio of leading coefficients; numerator wins → $\pm\infty$ (no horizontal asymptote). A finite $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ gives a horizontal asymptote $y=L$, and the two ends may differ.
Les limites à l'infini décrivent le comportement asymptotique. Pour les rationnelles : le dénominateur gagne → $0$ ; égalité des degrés → rapport des coefficients dominants ; le numérateur gagne → $\pm\infty$ (pas d'asymptote horizontale). Une valeur finie $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ donne une asymptote horizontale $y=L$, et les deux extrémités peuvent différer.