Removing Discontinuities · Supprimer les discontinuités
| English | Français |
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| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | fonction définie par morceaux |
Patching a hole
- A removable discontinuity is a hole where the limit exists but the value is wrong or missing.
- Since the limit is a perfectly good number, you can redefine the function at that one point to fill the hole.
- Set the point's value equal to the limit — the curve now flows through smoothly.
- This is repairing continuity: possible only for the removable type.
Comblant un trou
- Une discontinuité amovible est un trou où la limite existe mais la valeur est erronée ou manquante.
- Puisque la limite est un nombre parfaitement valide, on peut redéfinir la fonction à ce point unique pour combler le trou.
- Fixer la valeur du point égale à la limite — la courbe s'écoule désormais fluidement.
- C'est la réparation de la continuité : possible uniquement pour le type amovible.
The curve behind the hole · La courbe derrière le trou
y = x + 3
The cancelled function $y=x+3$ is a straight line — filling the hole just plots the point the line already passes through. · La fonction annulée $y=x+3$ est une ligne droite — remplir le trou consiste simplement à tracer le point que la ligne traverse déjà.
Solving for a mystery constant
- Often a piecewise function 分段函数 has an unknown constant $k$, and you must pick $k$ to make it continuous.
- The rule is condition (3): make the limit equal the value at the seam.
- Set the two pieces equal at the join point and solve for $k$.
- One equation, one unknown — clean algebra.
Résoudre pour une constante mystère
- Souvent, une fonction définie par morceaux 分段函数 possède une constante inconnue $k$, et il faut choisir $k$ pour qu'elle soit continue.
- La règle est la condition (3) : rendre la limite égale à la valeur à la jonction.
- Égaliser les deux morceaux au point de jonction et résoudre pour $k$.
- Une équation, une inconnue — algèbre propre.
To make a piecewise function continuous at the seam, set the limit equal to the function ____. · Pour rendre une fonction par morceaux continue à la jonction, fixez la limite égale à la valeur de la fonction ____.
That is continuity condition (3): limit $=$ value. · C'est la condition de continuité (3) : limite $=$ valeur.
A worked pattern
- Suppose $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ is to be continuous at $x=2$.
- Left limit: $2+k$. Right value: $3(2)-1=5$.
- Continuity needs $2+k=5$, so $k=3$.
- With $k=3$ the two pieces meet exactly — no jump, a continuous function.
Un modèle résolu
- Supposons que $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ soit continue en $x=2$.
- Limite de gauche : $2+k$. Valeur de droite : $3(2)-1=5$.
- La continuité exige $2+k=5$, donc $k=3$.
- Avec $k=3$, les deux morceaux se rejoignent exactement — pas de saut, fonction continue.
For · Pour $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ continuous at $x=2$, find $k$. · Pour que $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ soit continue en $x=2$, trouvez $k$.
Set pieces equal at $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$. · Égalisez les morceaux en $2$ : $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Know what cannot be fixed
- Only removable holes are repairable — the limit must already exist.
- A jump (unequal one-sided limits) has a gap of real width: no single redefinition closes it.
- An infinite discontinuity blows up: no value tames an asymptote.
- So first classify; if the two-sided limit is missing, the discontinuity is permanent.
Savoir ce qui ne peut pas être réparé
- Seuls les trous amovibles sont réparables — la limite doit déjà exister.
- Un saut (limites unilatérales inégales) laisse un espace de largeur réelle : aucune redéfinition unique ne peut le combler.
- Une discontinuité infinie explose : aucune valeur ne peut dompter une asymptote.
- Il faut donc d'abord classifier ; si la limite bilatérale manque, la discontinuité est permanente.
Which discontinuity can be removed by redefining a single point? · Quelle discontinuité peut être supprimée en redéfinissant un seul point ?
Only the removable type has a two-sided limit to match; jumps and blow-ups cannot be fixed. · Seul le type amovible possède une limite bilatérale à correspondre ; les sauts et explosions ne peuvent être corrigés.
Redefining $f(c)$ can create a two-sided limit that did not exist before. · Redéfinir $f(c)$ peut créer une limite bilatérale qui n'existait pas auparavant.
A single point does not affect the limit; if the sides disagree, redefining changes nothing. · Un seul point n'affecte pas la limite ; si les côtés ne coïncident pas, redéfinir ne change rien.
Select all · tout discontinuities that cannot be removed. · Sélectionnez toutes les discontinuités qui ne peuvent pas être supprimées.
Anything without a two-sided limit is permanent; only the removable hole can be filled. · Tout ce qui n'a pas de limite bilatérale est permanent ; seul le trou amovible peut être comblé.
You can only "remove" a discontinuity where the two-sided limit already exists. If the left and right limits differ, setting $f(c)$ to any number still leaves the sides disagreeing — the function stays discontinuous. Redefining a point never creates a limit that wasn't there.
On ne peut « supprimer » une discontinuité que là où la limite bilatérale existe déjà. Si les limites latérales diffèrent, fixer $f(c)$ à n'importe quel nombre laissera toujours les côtés diverger — la fonction restera discontinue. Redéfinir un point ne crée jamais une limite qui n'y était pas.
To remove the hole of $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ at $x=5$, define $f(5)$ equal to the limit. What value? · Pour supprimer le trou de $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ en $x=5$, définissez $f(5)$ égal à la limite. Quelle valeur ?
Limit $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, so $f(5)=10$. · Limite $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, donc $f(5)=10$.
Find $c$ so that $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ is continuous at $x=3$.
- The limit: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Continuity requires $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Setting $c=6$ fills the hole; $f$ is now continuous at $3$.
Trouver $c$ pour que $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ soit continue en $x=3$.
- La limite : $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- La continuité exige $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Fixer $c=6$ comble le trou ; $f$ est maintenant continue en $3$.
A removable discontinuity is repaired by redefining $f(c)$ to equal the (existing) limit. For a piecewise function with an unknown constant, set the pieces equal at the join — limit $=$ value — and solve. Jump and infinite discontinuities have no two-sided limit, so they cannot be removed.
Une discontinuité amovible est réparée en redéfinissant $f(c)$ pour qu'elle égale la (existante) limite. Pour une fonction définie par morceaux avec une constante inconnue, égalisez les morceaux à la jonction — limite $=$ valeur — et résolvez. Les discontinuités à saut et infinies n'ont pas de limite bilatérale, donc elles ne peuvent pas être supprimées.