Exploring Types of Discontinuities · Explorer les types de discontinuités
| English | Français |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | discontinuité |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | discontinuité removable |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | discontinuité jump |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | discontinuité infinite |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote verticale |
Where a graph "breaks"
- A continuous curve can be drawn without lifting your pen. A discontinuity 间断点 is a break in that flow.
- Not all breaks are the same — there are three distinct types, each with its own graph signature.
- Naming the type tells you instantly whether the break can be repaired.
- Let's meet all three: removable, jump, and infinite.
Où un graphique « casse »
- Une courbe continue peut être dessinée sans lever le stylo. Une discontinuité 间断点 est une rupture dans ce flux.
- Toutes les ruptures ne sont pas identiques — il existe trois types distincts, chacun avec sa propre signature graphique.
- Nommer le type vous indique immédiatement si la rupture peut être réparée.
- Rencontrons les trois : amovible, saut et infini.
Removable: a single missing point
- A removable discontinuity 可去间断点 is just a hole in an otherwise smooth curve.
- The limit exists (both sides meet at one height), but $f(c)$ is missing or plotted elsewhere.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ has a hole at $x=2$: the limit is $4$, yet $f(2)$ is undefined.
- Because the limit exists, you could "fill the hole" — hence removable (lesson 1.13).
Amovible : un seul point manquant
- Une discontinuité amovible 可去间断点 n'est qu'un trou dans une courbe autrement lisse.
- La limite existe (les deux côtés se rejoignent à une même hauteur), mais $f(c)$ est absent ou tracé ailleurs.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ a un trou en $x=2$ : la limite est $4$, yet $f(2)$ est indéfini.
- Comme la limite existe, on pourrait « combler le trou » — d'où amovible (leçon 1.13).
At $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ has a limit of $6$ but $f(3)$ undefined. The discontinuity is... · En $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ a une limite de $6$ mais $f(3)$ est indéfini. La discontinuité est...
A limit exists but the value is missing — a hole, i.e. removable. · Une limite existe mais la valeur manque — un trou, c'est-à-dire amovible.
Jump: the sides disagree
- A jump discontinuity 跳跃间断点 happens when the left and right limits are both finite but different.
- The graph leaps from one height to another — think of a step or a tax bracket.
- Here $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ does not exist, because the one-sided limits disagree.
- No single point value can bridge a gap of nonzero width, so a jump is not removable.
Saut : les côtés ne s'entendent pas
- Une discontinuité de saut 跳跃间断点 survient lorsque les limites latérales sont toutes deux finies mais différentes.
- Le graphique bondit d'une hauteur à une autre — imaginez une marche ou un tranche fiscale.
- Ici $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ n'existe pas, car les limites latérales divergent.
- Aucune valeur ponctuelle unique ne peut combler un écart de largeur non nulle, donc un saut n'est pas amovible.
A curve that blows up · Une courbe qui explose
y = a / (x − b)
A reciprocal shoots to $\pm\infty$ near where its denominator hits zero — that is an infinite discontinuity and a vertical asymptote. · Une réciproque tend vers $\pm\infty$ près de l'endroit où son dénominateur s'annule — c'est une discontinuité infinie et une asymptote verticale.
A jump discontinuity can be removed by redefining the function at the single point. · Une discontinuité par saut peut être supprimée en redéfinissant la fonction au seul point concerné.
The one-sided limits differ, so no single value bridges the gap — jumps are not removable. · Les limites latérales diffèrent, donc aucune valeur unique ne comble l'écart — les sauts ne sont pas amovibles.
A step function is $1$ for $x<0$ and · et $4$ for $x\ge0$. What is the size of the jump at $x=0$? · Une fonction en escalier vaut $1$ pour $x<0$ et $4$ pour $x\ge0$. Quelle est l'amplitude du saut en $x=0$ ?
Right minus left: $4-1=3$. · Droite moins gauche : $4-1=3$.
Infinite: off to $\pm\infty$
- An infinite discontinuity 无穷间断点 is where the function grows without bound near $c$.
- The graph rockets up or down along a vertical asymptote — as in $f(x)=\dfrac1{x-2}$ at $x=2$.
- The limit is infinite (or DNE), so this break is also not removable.
- Signature: a denominator heading to zero while the numerator does not.
Infini : vers $\pm\infty$
- Une discontinuité infinie 无穷间断点 est là où la fonction croît sans bornes au voisinage de $c$.
- Le graphique fonce vers le haut ou le bas le long d'une asymptote verticale — comme dans $f(x)=\dfrac1{x-2}$ en $x=2$.
- La limite est infinie (ou INEX), donc cette rupture n'est également pas amovible.
- Signature : un dénominateur tendant vers zéro pendant que le numérateur ne l'est pas.
An infinite discontinuity appears on a graph as a vertical ____. · Une discontinuité infinue apparaît sur un graphique comme une ____ verticale.
The function grows without bound along the vertical asymptote. · La fonction croît sans bornes le long de l'asymptote verticale.
Which discontinuity type is the only one where the two-sided limit exists? · Quel type de discontinuité est le seul dont la limite bilatérale existe ?
Removable = a hole where both sides agree, so the limit exists. · Amovible = un trou où les deux côtés concordent, donc la limite existe.
Select all · tout functions with an infinite discontinuity at the marked point. · Sélectionnez toutes les fonctions présentant une discontinuité infinie au point marqué.
The third is removable (limit $=2$). The others blow up to $\pm\infty$. · La troisième est amovible (limite $=2$). Les autres explosent vers $\pm\infty$.
Only the removable type has a genuine two-sided limit. For jump and infinite discontinuities the limit does not exist, so no clever redefinition at the single point can make the function continuous. Don't try to "fill" a jump — the gap has real width.
Seul le type amovible possède une véritable limite bilatérale. Pour les discontinuités de saut et infinies, la limite n'existe pas, donc aucune redéfinition ingénieuse au point unique ne rendra la fonction continue. N'essayez pas de « combler » un saut — l'écart a une réelle épaisseur.
Classify the discontinuity of each at the marked point:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ at $x=3$: limit $=6$, value undefined → removable (hole).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x;<0\\2,&x;\ge0\end{cases}$ at $x=0$: left $\to1$, right $\to2$ → jump.
- $\dfrac{1}{x^2}$ at $x=0$: grows to $+\infty$ → infinite.
Classez la discontinuité de chacune au point marqué :
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ en $x=3$ : limite $=6$, valeur non définie → amovible (trou).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x;<0\\2,&x;\ge0\end{cases}$ en $x=0$ : gauche $\to1$, droite $\to2$ → saut.
- $\dfrac{1}{x^2}$ en $x=0$ : croît vers $+\infty$ → infini.
Three discontinuity types: removable (a hole — the limit exists but $f(c)$ doesn't match), jump (finite one-sided limits that disagree), and infinite (unbounded near $c$, a vertical asymptote). Only the removable type has a two-sided limit, so only it can be repaired.
Trois types de discontinuité : amovible (un trou — la limite existe mais $f(c)$ ne correspond pas), à saut (limites unilatérales finies qui diffèrent) et infinie (non bornée près de $c$, asymptote verticale). Seul le type amovible possède une limite bilatérale, c'est donc le seul qui puisse être réparé.