Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant? · Introduction au Calcul : Un Changement Peut-il Survenir Instantanément ?
| English | Français |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux moyen de variation |
| slope/sləʊp/ | pente |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | corde |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | tangente |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux de variation instantané |
| limit/ˈlɪmɪt/ | limite |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
How fast, right now?
- Your car's speedometer reads $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ at a single instant.
- But speed is distance ÷ time — and at an instant, no time passes and no distance is covered.
- So how can you have a speed at a single moment?
- Answering this question is where calculus begins.
À quelle vitesse, maintenant ?
- Le compteur de votre voiture affiche $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ à un instant précis.
- Mais la vitesse est distance ÷ temps — et à un instant, aucun temps ne passe et aucune distance n'est parcourue.
- Alors comment pouvez-vous avoir une vitesse à un moment unique ?
- Répondre à cette question est où commence le calcul différentiel.
Average rate of change
- Over an interval, change is easy: it's the total change divided by the time taken.
- This is the average rate of change 平均变化率 of a function.
- On a graph it is the slope 斜率 of the straight line joining two points — a secant line 割线.
- Example: from $x=1$ to $x=3$, the average rate is $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
Taux de variation moyen
- Sur un intervalle, le changement est facile : c'est le changement total divisé par le temps écoulé.
- C'est le taux de variation moyen 平均变化率 d'une fonction.
- Sur un graphique, c'est la pente 斜率 de la droite reliant deux points — une tangente 割线.
- Exemple : de $x=1$ à $x=3$, le taux moyen est $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
The slope of a secant line between two points on a curve gives the... · La pente d'une droite sécante reliant deux points sur une courbe donne le...
A secant joins two points, so its slope is the average rate of change over that interval. · Une sécante joint deux points, donc sa pente est le taux de variation moyen sur cet intervalle.
Squeeze the two points together
- Now slide the second point closer and closer to the first.
- The secant line pivots and gets closer to just touching the curve at one point.
- That touching line is the tangent line 切线.
Rapprocher les deux points
- Maintenant, faites glisser le deuxième point de plus en plus près du premier.
- La tangente pivote et se rapproche de simplement toucher la courbe en un point.
- Cette ligne de contact est la tangente 切线.
As the second point slides toward the first, the secant line approaches the... · Alors que le second point glisse vers le premier, la droite sécante approche le...
The secant pivots until it just touches the curve — it approaches the tangent line. · La sécante pivote jusqu'à toucher juste la courbe — elle approche la tangente.
The instantaneous rate of change
- The slope of the tangent line is the instantaneous rate of change 瞬时变化率 at that point.
- That is the speedometer reading — the rate at one exact instant.
- For a position-time graph, it is the instantaneous velocity.
Le taux de variation instantané
- La pente de la tangente est le taux de variation instantané 瞬时变化率 à ce point.
- Cela correspond à la lecture du compteur — le taux à un instant exact.
- Pour un graphique position-temps, c'est la vitesse instantanée.
Average rate or instantaneous rate? · Taux moyen ou taux instantané ?
Decide whether each quantity is measured over an interval or at a single instant. · Décidez si chaque grandeur est mesurée sur un intervalle ou à un instant précis.
The slope of the tangent line is the ____ rate of change. · La pente de la tangente est le taux de variation ____.
The · Le tangent line touches at one point, so its slope is the instantaneous rate of change there. · La tangente touche la courbe en un seul point, donc sa pente est le taux de variation instantané à cet endroit.
You cannot find the instantaneous rate by plugging in one point — that gives $\tfrac{0}{0}$, which is undefined. You have to watch what the average rate approaches as the interval shrinks.
Vous ne pouvez pas trouver le taux instantané en insérant un seul point — cela donne $\tfrac{0}{0}$, qui est indéfini. Vous devez observer ce que le taux moyen approche alors que l'intervalle diminue.
You can find the instantaneous rate of change by plugging a single point into the average-rate formula. · Vous pouvez trouver le taux de variation instantané en insérant un seul point dans la formule du taux moyen.
That gives $\tfrac{0}{0}$, which is undefined. You must take the limit as the interval shrinks to zero. · Cela donne $\tfrac{0}{0}$, ce qui est indéfini. Vous devez prendre la limite alors que l'intervalle se rétrécit vers zéro.
This "approaches" is a limit
- We never actually divide by zero; we ask what value the slope approaches.
- That value is a limit 极限 — the central idea of calculus.
- The limit of the average rate of change, as the interval shrinks to zero, is called the derivative 导数.
- The whole first unit of the course is about making this idea precise.
Ce « approche » est une limite
- Nous ne divisons jamais réellement par zéro ; nous demandons quelle valeur la pente approche.
- Cette valeur est une limite 极限 — l'idée centrale du calcul.
- La limite du taux de variation moyen, alors que l'intervalle tend vers zéro, s'appelle la dérivée 导数.
- Tout le premier module du cours porte sur la précision de cette idée.
Select all · tout true statements about the derivative at a point. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant la dérivée en un point.
The derivative is the limit of average rates as the interval shrinks — the tangent slope, i.e. the instantaneous rate. · La dérivée est la limite des taux moyens lorsque l'intervalle se rétrécit — la pente de la tangente, c.-à-d. le taux instantané.
A ball's height is $h(t) = 5t^2$ metres. Estimate its speed at $t=2$ s.
- Average rate from $t=2$ to $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- From $t=2$ to $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- The values close in on $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — that limit is the instantaneous speed.
La hauteur d'une balle est $h(t) = 5t^2$ mètres. Estimez sa vitesse à $t=2$ s.
- Taux moyen de $t=2$ à $t=2.1$ : $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- De $t=2$ à $t=2.01$ : $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Les valeurs convergent vers $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — cette limite est la vitesse instantanée.
A ball's height is $h(t)=5t^2$ m. Estimate its instantaneous speed at $t=2$ s (in m/s). · La hauteur d'une balle est $h(t)=5t^2$ m. Estimez sa vitesse instantanée à $t=2$ s (en m/s).
Shrinking the interval, the average rate closes in on $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — that limit is the instantaneous speed. · En réduisant l'intervalle, le taux moyen converge vers $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — cette limite est la vitesse instantanée.
Average rate of change = slope of a secant line over an interval. Shrink the interval to zero and the secant approaches the tangent line, whose slope is the instantaneous rate of change. That limiting value is the derivative.
Taux de variation moyen = pente d'une tangente sur un intervalle. Réduisez l'intervalle à zéro et la tangente approche la tangente, dont la pente est le taux de variation instantané. Cette valeur limite est la dérivée.