Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals: Basic Rules and Notation · Trouver des primitives et intégrales indéfinies : règles de base et notation
| English | Français |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale indéfinie |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante d'intégration |
Running differentiation backward
- FTC Part 2 needs an antiderivative — so let's learn to find them.
- An antiderivative of $f$ is any function whose derivative is $f$; the whole family is the indefinite integral 不定积分.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (no limits) means "the general antiderivative of $f$."
- Every derivative rule, read backward, becomes an antiderivative rule.
Faire fonctionner la dérivation à l'envers
- La TFC Partie 2 nécessite une primitive — apprenons donc à les trouver.
- Une primitive de $f$ est n'importe quelle fonction dont la dérivée est $f$ ; l'ensemble complet est l'intégrale indéfinie 不定积分.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (sans bornes) signifie « la primitive générale de $f$ ».
- Chaque règle de dérivation, lue à l'envers, devient une règle d'intégration.
The power rule for integration
- Reverse the Power Rule: add one to the exponent, then divide by the new exponent.
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$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Check: differentiating $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ gives $x^n$. ✓
- (The case $n=-1$ is special: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
La règle de puissance pour l'intégration
- Inversez la règle de puissance : ajoutez un à l'exposant, puis divisez par le nouvel exposant.
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$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Vérification : dériver $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ donne $x^n$. ✓
- (Le cas $n=-1$ est spécial : $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
What is $\displaystyle\int x^3\,dx$? · Quelle est la valeur de $\displaystyle\int x^3\,dx$ ?
Add one to the exponent, divide by it: $\tfrac{x^4}{4}+C$. · Ajouter un à l'exposant, diviser par lui : $\tfrac{x^4}{4}+C$.
The power rule fails for $n=-1$. What is $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$? · La règle de puissance échoue pour $n=-1$. Quelle est $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$ ?
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
Never forget $+C$
- Since the derivative of a constant is $0$, any constant can be added — so the antiderivative is a family.
- Always append the constant of integration 积分常数 $+C$ to an indefinite integral.
- Without limits there's no way to pin down which constant, so $+C$ stays.
- (In a definite integral the $+C$ cancels — that's the difference.)
N'oubliez jamais $+C$
- Puisque la dérivée d'une constante est $0$, n'importe quelle constante peut être ajoutée — donc la primitive est une famille.
- Ajoutez toujours la constante d'intégration 积分常数 $+C$ à une intégrale indéfinie.
- Sans bornes, il n'y a aucun moyen de fixer quelle constante, donc $+C$ reste.
- (Dans une intégrale définie, la $+C$ s'annule — c'est la différence.)
A family shifted by +C · Une famille décalée de +C
y = ax³ + d
All antiderivatives of $f$ differ only by a vertical shift $+C$ — same slope everywhere. · Toutes les primitives de $f$ ne diffèrent que par un décalage vertical $+C$ — même pente partout.
An indefinite integral should include the constant of integration $+C$. · Une intégrale indéfinie doit inclure la constante d'intégration $+C$.
The antiderivative is a family; $+C$ is part of the answer. · La primitive est une famille ; $+C$ fait partie de la réponse.
The standard antiderivatives
- Reverse the elementary derivatives you know:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Combine with linearity to integrate any polynomial or sum term by term.
Les primitives standards
- Inversez les dérivées élémentaires que vous connaissez :
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Combinez avec la linéarité pour intégrer n'importe quel polynôme ou somme terme par terme.
What is $\displaystyle\int \sin x\,dx$? · Quelle est la valeur de $\displaystyle\int \sin x\,dx$ ?
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (mind the minus). · $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (attention au signe moins).
Find $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$. · Trouvez $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
Reverse power rule term by term, plus $C$. · Règle de puissance inversée terme par terme, plus $C$.
Select all · tout correct antiderivatives. · Sélectionner toutes les primitives correctes.
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positive); the last is wrong. · $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positif) ; le dernier est faux.
Two staples: always add $+C$ to an indefinite integral (it's part of the answer), and the power rule fails for $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ is $\ln|x|+C$, not $\frac{x^0}{0}$. Also mind the sign on $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (a minus, mirroring $\cos$'s derivative).
Deux piliers : toujours ajouter $+C$ à une intégrale indéfinie (c'est une partie de la réponse), et la règle de puissance échoue pour $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ est $\ln|x|+C$, pas $\frac{x^0}{0}$. Attention aussi au signe sur $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (un moins, miroir de la dérivée de $\cos$).
Find $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Term by term (reverse power rule): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Check by differentiating: $6x^2-4x+5$. ✓
Trouvez $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Terme par terme (inverse de la règle de puissance) : $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$ ; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$ ; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Vérifiez en dérivant : $6x^2-4x+5$. ✓
An indefinite integral $\int f\,dx$ is the general antiderivative of $f$. The power rule for integration: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ for $n\neq-1$ (and $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Always add the constant of integration $+C$, and integrate sums term by term.
Une intégrale indéfinie $\int f\,dx$ est la primitive générale de $f$. La règle de puissance pour l'intégration : $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ pour $n\neq-1$ (et $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Ajoutez toujours la constante d'intégration $+C$, et intégrez les sommes terme par terme.