Using the First Derivative Test to Determine Relative (Local) Extrema · Utilisation du premier test de la dérivée pour déterminer les extrema relatifs (locaux)
| English | Français |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | Test de la dérivée première |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | maximum local (relatif) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | minimum local (relatif) |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
Classifier un point critique selon la tournure de $f'$
- Un point critique est un candidat extremum — maintenant nous décidons de quel type il s'agit.
- Le Test de la Dérivée Première 一阶导数判别法 lit le changement de signe de $f'$ à travers le point.
- Montée puis descente fait un pic ; descente puis montée fait un creux.
- Il réutilise votre tableau de signes de la dernière leçon — aucun nouveau calcul.
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
Positif → négatif signifie un max
- Si $f'$ change de positif à négatif à un point critique $c$, alors $f$ a un maximum relatif (local) 局部最大值 là.
- La fonction montait, s'est nivelée, puis est tombée — le sommet d'une colline.
- Lisez-le directement sur le tableau de signes : un $+$ à gauche de $c$, un $-$ à droite.
- La valeur maximum est $f(c)$ ; l'emplacement est $x=c$.
A max then a min · Un max puis un min
y = ax³ + cx
The left hump is a local max ($f'$ goes $+$ to · à $-$) and the right dip a local min ($-$ to · à $+$). · Le bosse gauche est un max local ($f'$ va de $+$ à $-$) et la bosse droite un min local ($-$ à $+$).
If $f'$ changes from positive to negative at $c$, then $f$ has a... · Si $f'$ change de positif à négatif en $c$, alors $f$ a un...
Up then down = the top of a hill = local max. · Haut puis bas = le sommet d'une colline = max local.
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
Négatif → positif signifie un min
- Si $f'$ change de négatif à positif à $c$, alors $f$ a un minimum relatif (local) 局部最小值 là.
- Descente, nivellement, puis montée — le fond d'une vallée.
- Tableau de signes : un $-$ à gauche de $c$, un $+$ à droite de $c$.
- Si $f'$ ne change pas de signe en $c$, il n'y a pas d'extremum là (un point plat).
If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a local ____ there. · Si $f'$ change de négatif à positif en $c$, alors $f$ a un local ____ là.
Down then up = bottom of a valley = local min. · Bas puis haut = fond d'une vallée = min local.
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
La routine
- Trouvez les points critiques, construisez le tableau de signes de $f'$, et lisez chaque passage.
- $+\to-$ : max local. $-\to+$ : min local. Pas de changement : ni l'un ni l'autre.
- Fonctionne même où $f'$ est indéfini (un coin), tant que le signe change.
- C'est l'outil le plus utilisé de l'AP pour classifier les extrema.
If $f'$ has the same sign on both sides of a critical point, there is no extremum there. · Si $f'$ a le même signe des deux côtés d'un point critique, il n'y a pas d'extremum là.
No sign change (like $y=x^3$ at $0$) means no max or min. · Pas de changement de signe (comme $y=x^3$ en $0$) signifie pas de max ni de min.
For · Pour $f(x)=x^3-3x$, the critical point $x=1$ is a... · Pour $f(x)=x^3-3x$, le point critique $x=1$ est un...
$f'$ goes $-\to+$ at $x=1$ → local min. · $f'$ devient $-\to+$ à $x=1$ → minimum local.
For · Pour $f(x)=x^3-3x$, the local max is at $x=-1$. Find the max value $f(-1)$. · Pour $f(x)=x^3-3x$, le max local est en $x=-1$. Trouver la valeur du max $f(-1)$.
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Select all · tout true statements about the First Derivative Test. · Sélectionner toutes les véritables déclarations sur le Premier Test de la Dérivée.
It is the change of sign that matters, not the value at $c$. · C'est le changement de signe qui compte, pas la valeur à $c$.
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
C'est le changement de signe qui compte, pas la valeur de $f'$ à $c$ (qui est $0$ ou indéfini là). Si $f'$ garde le même signe des deux côtés — comme $y=x^3$ à $0$ (positif des deux côtés) — il n'y a aucun extremum, bien que ce soit un point critique.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
Classifiez les points critiques de $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- À $x=-1$ : $f'$ va de $+\to-$ (test $-2$ donne $+$, test $0$ donne $-$) → max local.
- En $x=1$ : $f'$ passe de $-\to+$ (test $0$ donne $-$, test $2$ donne $+$) → minimum local.
- Valeurs : max local $f(-1)=2$, min local $f(1)=-2$.
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.
Le Test de la Dérivée Première classe un point critique par le changement de signe de $f'$ : $+\to-$ est un maximum local, $-\to+$ est un minimum local, et aucun changement de signe signifie aucun extremum. Il suffit de lire les franchissements sur votre tableau de signes $f'$.