Differentiating Inverse Functions · Dérivation des fonctions inverse
| English | Français |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | fonction réciproque |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | réciproques |
Slopes of a function and its mirror
- An inverse function 反函数 $f^{-1}$ undoes $f$: it reflects the graph across the line $y=x$.
- Reflecting swaps the roles of rise and run — so it flips the slope upside down.
- That gives a neat shortcut: you can find the inverse's derivative from the original's.
- Best of all, you often don't need a formula for $f^{-1}$ at all.
Pentes d'une fonction et de son miroir
- Une fonction réciproque 反函数 $f^{-1}$ annule $f$ : elle reflète le graphique par rapport à la droite $y=x$.
- Le reflet inverse les rôles de la montée et de l'avancée — cela inverse donc la pente.
- Cela offre un raccourci élégant : on peut trouver la dérivée de la réciproque à partir de celle de l'originale.
- Le meilleur, c'est qu'on n'a souvent pas besoin d'une formule pour $f^{-1}$ du tout.
The reciprocal-slope rule
- At matching points, the slopes of $f$ and $f^{-1}$ are reciprocals 互为倒数.
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$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Read it as: the inverse's slope at $x$ is $1$ divided by $f$'s slope at the matching input.
- The matching input is $f^{-1}(x)$ — the point on $f$ that maps to $x$.
La règle de la pente réciproque
- Aux points correspondants, les pentes de $f$ et $f^{-1}$ sont des réciproques 互为倒数.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- À lire ainsi : la pente de la réciproque en $x$ est $1$ divisé par la pente de $f$ à l'entrée correspondante.
- L'entrée correspondante est $f^{-1}(x)$ — le point sur $f$ qui mène à $x$.
The derivative of an inverse is $\big(f^{-1}\big)'(x)=$ · La dérivée d'une fonction inverse est $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
One over the original derivative at the matching input $f^{-1}(x)$. · Un sur la dérivée originale au point d'entrée correspondant $f^{-1}(x)$.
Evaluate without inverting
- Usually you only need the derivative at one point, and you can skip finding $f^{-1}$.
- Say $f(2)=5$ and $f'(2)=3$. Then the point $(5,2)$ is on $f^{-1}$, so $f^{-1}(5)=2$.
- Apply the rule: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- You never needed a formula — just the matching pair and one derivative value.
Évaluer sans inverser
- Souvent, il suffit de la dérivée en un seul point, et on peut sauter la recherche de $f^{-1}$.
- Disons $f(2)=5$ et $f'(2)=3$. Alors le point $(5,2)$ est sur $f^{-1}$, donc $f^{-1}(5)=2$.
- Appliquer la règle : $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- On n'a jamais eu besoin d'une formule — juste d'une paire correspondante et d'une valeur de dérivée.
If $f(2)=5$ and · et $f'(2)=4$, find $\big(f^{-1}\big)'(5)$. · Si $f(2)=5$ et $f'(2)=4$, trouvez $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
$f^{-1}(5)=2$, so $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$. · $f^{-1}(5)=2$, donc $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
To compute $\big(f^{-1}\big)'(c)$ at a point, which do you need? · Pour calculer $\big(f^{-1}\big)'(c)$ en un point, quoi avez-vous besoin ?
You need the matching input and $f'$ there (nonzero, so the reciprocal exists) — no full inverse formula. · Vous avez besoin du point d'entrée correspondant et de $f'$ là-bas (non nul, pour que la réciproque existe) — pas de formule d'inverse complète.
Why reciprocal? See the reflection
- Reflecting across $y=x$ turns a "rise of $3$ over run of $1$" into a "rise of $1$ over run of $3$."
- So a slope of $3$ becomes a slope of $\tfrac13$ — literally flipped.
- This is why $f$ and $f^{-1}$ have reciprocal slopes at corresponding points.
- (It also warns you: if $f'=0$ at a point, the inverse has a vertical tangent there — its slope is undefined.)
Pourquoi réciproque ? Voir le reflet
- Reflecter par rapport à $y=x$ transforme une « montée de $3$ sur avancée de $1$ » en une « montée de $1$ sur avancée de $3$."
- Donc une pente de $3$ devient une pente de $\tfrac13$ — littéralement inversée.
- C'est pourquoi $f$ et $f^{-1}$ ont des pentes réciproques aux points correspondants.
- (Cela vous avertit aussi : si $f'=0$ en un point, la réciproque y a une tangente verticale — sa pente est indéfinie.)
A slope and its reciprocal · Une pente et son réciproque
y = x³ + 1
Reflecting a curve across $y=x$ flips rise and run — a slope of $3$ becomes $\tfrac13$ on the inverse. · Réfléchir une courbe sur $y=x$ inverse la montée et la course — une pente de $3$ devient $\tfrac13$ sur l'inverse.
To find $\big(f^{-1}\big)'(5)$, you evaluate $f'$ at $5$. · Pour trouver $\big(f^{-1}\big)'(5)$, vous évaluez $f'$ en $5$.
You evaluate $f'$ at the matching input $f^{-1}(5)$, not at $5$. · Vous évaluez $f'$ au point d'entrée correspondant $f^{-1}(5)$, pas en $5$.
At corresponding points, the slopes of $f$ and · et $f^{-1}$ are ____ of each other. · Aux points correspondants, les pentes de $f$ et $f^{-1}$ sont ____ l'une de l'autre.
Reflection across $y=x$ flips the slope. · Réflexion sur $y=x$ inverse la pente.
If $f'(a)=0$ at the matching input, the inverse at the corresponding point has... · Si $f'(a)=0$ au point d'entrée correspondant, l'inverse au point correspondant a...
Dividing by $0$ is undefined — the reflected tangent is vertical. · La division par $0$ est indéfinie — la tangente réfléchie est verticale.
Use the derivative of $f$ at the matching input $f^{-1}(x)$, not at $x$ itself. For $\big(f^{-1}\big)'(5)$ you need $f'$ at the input that maps to $5$, i.e. $f'(f^{-1}(5))$, not $f'(5)$. Plugging $5$ straight into $f'$ is the classic error.
Utiliser la dérivée de $f$ à l'entrée correspondante $f^{-1}(x)$, pas directement en $x$. Pour $\big(f^{-1}\big)'(5)$, vous avez besoin de $f'$ à l'entrée qui mène à $5$, c'est-à-dire $f'(f^{-1}(5))$, pas $f'(5)$. Insérer $5$ directement dans $f'$ est l'erreur classique.
$f(x)=x^3+1$ has $f(1)=2$ and $f'(x)=3x^2$. Find $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- The matching input: $f^{-1}(2)=1$ (since $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
$f(x)=x^3+1$ a $f(1)=2$ et $f'(x)=3x^2$. Trouver $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- L'entrée correspondante : $f^{-1}(2)=1$ (puisque $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
The derivative of an inverse function is the reciprocal of the original's derivative at the matching point: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Reflection across $y=x$ swaps rise and run, flipping the slope. You can evaluate it at a point using just a matching pair — no formula for $f^{-1}$ required.
La dérivée d'une fonction réciproque est le réciproque de la dérivée originale au point correspondant : $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Le reflet par rapport à $y=x$ inverse la montée et l'avancée, inversant la pente. On peut l'évaluer en un point avec juste une paire correspondante — aucune formule pour $f^{-1}$ requise.