The Chain Rule · La règle de la chaîne
| English | Français |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | fonction composée |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | Règle de la chaîne |
| outer/ˈaʊtə/ | extérieur |
| inner/ˈɪnə/ | interne |
Functions inside functions
- What is the derivative of $(3x+1)^{5}$? It's a power of a function — a composite function 复合函数.
- Expanding it would be brutal. There's a rule built exactly for this: the Chain Rule 链式法则.
- A composite is "an outer function wrapped around an inner one," like $f(g(x))$.
- The Chain Rule differentiates the layers one at a time and multiplies.
Fonctions à l'intérieur de fonctions
- Quelle est la dérivée de $(3x+1)^{5}$ ? C'est une puissance d'une fonction — une fonction composée 复合函数.
- La développer serait insensé. Il existe une règle conçue spécifiquement pour cela : la Règle de la chaîne 链式法则.
- Une fonction composée est "une fonction externe enveloppant une interne", comme $f(g(x))$.
- La Règle de la chaîne différentie les couches une par une et multiplie.
The rule
- For $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- In words: derivative of the outer (leaving the inner alone) times the derivative of the inner.
- The little "$\cdot\, g'(x)$" is the piece people forget — it's the whole point.
La règle
- Pour $y=f(g(x))$ :
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- En mots : la dérivée de l'extérieur (en laissant l'intérieur intact) times la dérivée de l'intérieur.
- Le petit "$\cdot\, g'(x)$" est la partie que l'on oublie — c'est tout l'enjeu.
A composite curve · Une courbe composée
y = ax² + bx + c
A composite like $(3x+1)^2$ is steeper than its inner line alone — the chain rule multiplies the inner rate in. · Une composition comme $(3x+1)^2$ est plus raide que sa ligne interne seule — la règle de la chaîne multiplie le taux interne.
The Chain Rule gives $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$ · La règle de la chaîne donne $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Outer derivative at the inner, times the inner derivative. · Dérivée externe au niveau de l'interne, fois la dérivée interne.
Spot the outer and inner
- Before differentiating, name the outer 外层 and inner 内层 functions.
- In $(3x+1)^5$: outer is "(something)$^5$", inner is $3x+1$.
- Outer derivative: $5(3x+1)^4$. Inner derivative: $3$.
- Multiply: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
Repérer l'extérieur et l'intérieur
- Avant de différentier, nommez les fonctions externes 外层 et internes 内层.
- Dans $(3x+1)^5$ : l'extérieur est "(quelque chose)$^5$", l'intérieur est $3x+1$.
- Dérivée extérieure : $5(3x+1)^4$. Dérivée intérieure : $3$.
- Multipliez : $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
For · Pour $y=(2x+1)^3$, find $y'$ at $x=0$. (Chain rule: $3(2x+1)^2\cdot2$.) · Pour $y=(2x+1)^3$, trouver $y'$ en $x=0$. (Règle de la chaîne : $3(2x+1)^2\cdot2$.)
$y'=6(2x+1)^2$; at $0$: $6(1)=6$. · $y'=6(2x+1)^2$ ; en $0$ : $6(1)=6$.
For · Pour $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, select all · tout correct identifications. · Pour $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, sélectionnez tous les identifiants corrects.
The square root is the outer; $x^2+1$ is the inner with derivative $2x$. · La racine carrée est l'externe ; $x^2+1$ est l'interne avec dérivée $2x$.
Chaining with the other rules
- The Chain Rule stacks with everything: power, product, quotient, and elementary derivatives.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — outer $\sin$, inner $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- For deeply nested functions, peel one layer at a time, multiplying each inner derivative as you go.
Chaîner avec les autres règles
- La Règle de la chaîne s'empile avec tout : puissance, produit, quotient et dérivées élémentaires.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — extérieur $\sin$, intérieur $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- Pour les fonctions profondément imbriquées, dépouillez une couche à la fois, en multipliant chaque dérivée intérieure au fur et à mesure.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ ?
Outer $\cos(x^2)$ times inner derivative $2x$. · Externe $\cos(x^2)$ fois dérivée interne $2x$.
The factor most often forgotten in the chain rule is the ____ derivative $g'(x)$. · Le facteur le plus souvent oublié dans la règle de la chaîne est la dérivée ____ $g'(x)$.
You must multiply by $g'(x)$ after differentiating the outer. · Vous devez multiplier par $g'(x)$ après avoir dérivé l'externe.
What is $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$ ?
Outer $e^{3x}$ times inner derivative $3$. · Externe $e^{3x}$ fois dérivée interne $3$.
Never forget to multiply by the inner derivative $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ is $\cos(x^2)\cdot 2x$, not just $\cos(x^2)$. Leaving off the "$\cdot\,g'(x)$" is the single most common calculus error — the outer derivative alone is only half the answer.
N'oubliez jamais de multiplier par la dérivée intérieure $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ est $\cos(x^2)\cdot 2x$, pas simplement $\cos(x^2)$. Omettre le "$\cdot\,g'(x)$" est l'erreur de calcul la plus commune — la dérivée seule de l'extérieur ne constitue que la moitié de la réponse.
Differentiate $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Rewrite: $y=(x^2+1)^{1/2}$. Outer: $(\ )^{1/2}$; inner: $x^2+1$.
- Outer derivative: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Inner derivative: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Dérivez $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Réécrivez : $y=(x^2+1)^{1/2}$. Extérieur : $(\ )^{1/2}$ ; Intérieur : $x^2+1$.
- Dérivée extérieure : $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Dérivée intérieure : $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
The Chain Rule differentiates a composite function: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — derivative of the outer (inner untouched) times the derivative of the inner. Identify the layers first, and never drop the $\cdot\,g'(x)$ factor. It combines with every other rule for nested expressions.
La Règle de la chaîne différentie une fonction composée : $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — dérivée de l'extérieure (intérieur intact) times la dérivée de l'intérieure. Identifiez d'abord les couches, et ne lâchez jamais le facteur $\cdot\,g'(x)$. Elle se combine avec toutes les autres règles pour les expressions imbriquées.