Derivatives of cos x, sin x, eˣ, and ln x · Dérivées de cos x, sin x, eˣ et ln x
| English | Français |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | exponentielle |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | logarithmique |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | dérivées élémentaires |
Four derivatives worth memorizing
- The Power Rule stops at powers of $x$. Beyond it lie the elementary functions.
- Four of them appear constantly, so their derivatives are worth knowing cold.
- They are $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, and $\ln x$.
- Learn these four and, with the earlier rules, you can differentiate a huge range of expressions.
Quatre dérivées à mémoriser
- La règle de puissance s'arrête aux puissances de $x$. Au-delà se trouvent les fonctions élémentaires.
- Quatre d'entre elles apparaissent constamment, leurs dérivées valent donc la peine d'être connues sur le bout des doigts.
- Ce sont $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, et $\ln x$.
- Apprenez ces quatre et, avec les règles précédentes, vous pourrez différentier un vaste éventail d'expressions.
The trig pair
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — note the minus sign.
- A handy check: the slope of $\sin x$ at $0$ is $1$ (steepest rise), and $\cos 0=1$. ✓
- (These require $x$ in radians — the clean formulas only hold there.)
La paire trigonométrique
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — notez le signe moins.
- Une vérification pratique : la pente de $\sin x$ en $0$ est $1$ (montée la plus raide), et $\cos 0=1$. ✓
- (Ces formules nécessitent $x$ en radians — les formules propres n'y sont valides que là.)
The slope of sine is cosine · La pente du sinus est le cosinus
Where · Où $\sin x$ is steepest (at $0$) its slope is $1$ — exactly $\cos 0$. The derivative of $\sin$ is $\cos$. · Lorsque $\sin x$ est le plus raide (en $0$), sa pente est $1$ — exactement $\cos 0$. La dérivée de $\sin$ est $\cos$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$ ?
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (mind the sign). · $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (attention au signe).
The derivative of cosine is $-\sin x$. · La dérivée du cosinus est $-\sin x$.
The exponential and the logarithm
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — the exponential 指数函数 function is its own derivative. Its slope always equals its height.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — the logarithmic 对数 derivative, valid for $x>0$.
- $e^x$ is the unique function that never changes under differentiation.
- $\ln x$ turns into the simple reciprocal $\tfrac1x$ — a surprisingly tidy result.
L'exponentielle et le logarithme
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — la fonction exponentielle 指数函数 est sa propre dérivée. Sa pente est toujours égale à sa hauteur.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — la dérivée logarithmique 对数, valide pour $x>0$.
- $e^x$ est la fonction unique qui ne change jamais sous la dérivation.
- $\ln x$ devient la simple réciproque $\tfrac1x$ — un résultat étonnamment sobre.
$e^x$ is its own derivative. · $e^x$ est sa propre dérivée.
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — unique among functions. · $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — unique parmi les fonctions.
What is $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (for $x>0$)? · Qu'est-ce que $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (pour $x>0$) ?
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
Mix them with the combining rules
- These elementary derivatives 基本导数 slot straight into the sum, difference, and constant-multiple rules.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Differentiate each term with its own rule, then combine — nothing new to learn beyond the four facts.
Mélangez-les avec les règles de combinaison
- Ces dérivées élémentaires 基本导数 s'intègrent directement dans les règles de somme, de différence et de multiplication par une constante.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Différentiez chaque terme avec sa propre règle, puis combinez — rien de nouveau à apprendre au-delà des quatre faits de base.
Differentiate $3\sin x-2e^x$. · Dérivez $3\sin x-2e^x$.
$3\cos x$ and · et $e^x$ stays $e^x$: $3\cos x-2e^x$. · $3\cos x$ et $e^x$ reste $e^x$ : $3\cos x-2e^x$.
Select all · tout correct elementary derivatives. · Sélectionnez tous les dérivés élémentaires corrects.
The last is wrong — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, not $x$. · Le dernier est faux — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, pas $x$.
Mind the signs and the domain. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (the minus is the top mistake). $e^x$ is its own derivative — do not apply the Power Rule to it. And $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ holds only for $x>0$, the domain of $\ln$.
Faites attention aux signes et au domaine. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (le moins est l'erreur principale). $e^x$ est sa propre dérivée — ne pas appliquer la règle de puissance à elle. Et $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ n'est valable que pour $x>0$, le domaine de $\ln$.
Differentiate $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Dérivez $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Memorize four elementary derivatives: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. They combine with the sum/difference/constant-multiple rules to differentiate mixed expressions. Watch the minus on $\cos$, keep $x$ in radians, and remember $e^x$ is its own derivative.
Mémorisez quatre dérivées élémentaires : $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. Elles se combinent avec les règles de somme/différence/multiplication par une constante pour différentier des expressions mixtes. Attention au moins sur $\cos$, gardez $x$ en radians, et rappelez-vous que $e^x$ est sa propre dérivée.