Applying the Power Rule · Appliquer la règle de la puissance
| English | Français |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | puissance |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | Règle de la puissance |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | entier |
A shortcut that replaces the limit
- Computing every derivative from the limit definition is slow. There's a pattern.
- For powers of $x$, one rule does it instantly: the Power Rule 幂法则.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Bring the exponent down as a coefficient, then subtract one from the exponent."
Un raccourci qui remplace la limite
- Calculer chaque dérivée depuis la définition de la limite est lent. Il y a un schéma.
- Pour les puissances de $x$, une règle suffit instantanément : la règle de puissance 幂法则.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- « Abaissez l'exposant en coefficient, puis soustrayez un à l'exposant. »
A power and its tangent slope · Une puissance et sa pente tangente
y = x²
For · Pour $y=x^2$ the power rule gives slope $2x$ — move the point and check the tangent slope matches $2x$. · Pour $y=x^2$, la règle de la puissance donne une pente $2x$ — déplacer le point et vérifier que la pente tangente correspond à $2x$.
Watch it work
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — the $3$ drops in front, the exponent goes $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — the derivative of $x$ is $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- It matches the limit definition (we found $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) but takes one line.
Regardez ça fonctionner
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — l'$3$ tombe devant, l'exposant devient $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — la dérivée de $x$ est $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- Cela correspond à la définition de la limite (nous avons trouvé $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) mais prend une seule ligne.
What is $\dfrac{d}{dx}[x^5]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[x^5]$ ?
Bring down $5$, reduce exponent: $5x^{5-1}=5x^4$. · Abaisser $5$, réduire l'exposant : $5x^{5-1}=5x^4$.
If $f(x)=x^4$, find $f'(2)$. · Si $f(x)=x^4$, trouver $f'(2)$.
$f'(x)=4x^3$, so $f'(2)=4\cdot8=32$. · $f'(x)=4x^3$, donc $f'(2)=4\cdot8=32$.
It works for any exponent
- $n$ can be a negative or a rational (fractional) exponent, not just a positive integer 整数.
- Negative: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Rational: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Same rule every time — bring down $n$, reduce the exponent by one.
Ça marche pour n'importe quel exposant
- $n$ peut être un exposant négatif ou rationnel (fractionnaire), pas seulement un entier 整数 positif.
- Négatif : $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Rationnel : $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Même règle à chaque fois : abaissez $n$, réduisez l'exposant d'un.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. The exponent $\square$ is ____. · $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. L'exposant $\square$ est ____.
Reduce $-2$ by one: $-2-1=-3$. · Réduire $-2$ d'un : $-2-1=-3$.
The Power Rule differentiates which of these directly (after rewriting)? · La règle de la puissance dérive directement laquelle de celles-ci (après réécriture) ?
All are powers of $x$ after rewriting; $5^x$ is an exponential, not a power of $x$. · Toutes sont des puissances de $x$ après réécriture ; $5^x$ est exponentielle, pas une puissance de $x$.
Rewrite first, then differentiate
- Radicals and reciprocals hide powers — rewrite them as $x^n$ before applying the rule.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, so $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, so $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Turning every term into a power is the key setup step.
Réécrivez d'abord, puis différenciez
- Les radicaux et les inversés cachent des puissances — réécrivez-les sous la forme $x^n$ avant d'appliquer la règle.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, donc $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, donc $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Transformer chaque terme en une puissance est l'étape de configuration clé.
Rewrite and differentiate: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ equals... · Réécrire et dériver : $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ égale...
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
The Power Rule applies to $2^x$, giving $x\cdot 2^{x-1}$. · La règle de la puissance s'applique à $2^x$, donnant $x\cdot 2^{x-1}$.
The Power Rule needs a variable base with constant exponent; $2^x$ is an exponential (next lesson). · La règle de la puissance nécessite une base variable avec un exposant constant ; $2^x$ est exponentielle (prochaine leçon).
The Power Rule is for a variable base with a constant exponent ($x^n$). It does not apply to a constant base with a variable exponent — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (That is an exponential, handled in the next lesson.) And don't forget to reduce the exponent: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, not $-2x^{-2}$.
La règle de puissance s'applique à une base variable avec un exposant constant ($x^n$). Elle ne s'applique pas à une base constante avec un exposant variable — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (Ceci est une exponentielle, traitée dans la leçon suivante.) Et n'oubliez pas de réduire l'exposant : $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, pas $-2x^{-2}$.
Differentiate $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Rewrite as powers: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Power rule term by term: $\tfrac23 x^{-1/3}$ and $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
Dérivez $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Réécrivez sous forme de puissances : $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Règle de puissance terme par terme : $\tfrac23 x^{-1/3}$ et $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
The Power Rule $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ works for any constant exponent — integer, negative, or rational. Rewrite radicals and reciprocals as powers first, then bring the exponent down and reduce it by one. It replaces the limit definition for power functions.
La règle de puissance $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ fonctionne pour n'importe quel exposant constant — entier, négatif ou rationnel. Réécrivez les radicaux et les inverses sous forme de puissances d'abord, puis abaissez l'exposant et réduisez-le d'un. Elle remplace la définition de la limite pour les fonctions puissance.