Determining Limits Using Algebraic Manipulation · Détermination des limites par manipulation algébrique
| English | Français |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | équivalente |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | la factorisation |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | conjugué |
$\tfrac00$ is a locked door — algebra is the key
- Direct substitution just gave you $\dfrac00$. Do not give up — rewrite the function first.
- The trick: find an equivalent 等价 expression that agrees with the original everywhere except the troublesome point.
- Since a limit ignores the single point $x=c$, the rewritten function has the same limit.
- Three tools do almost all the work: factor, rationalize, and combine fractions.
$\tfrac00$ est une porte fermée — l'algèbre est la clé
- La substitution directe vous a donné $\dfrac00$. Ne désespérez pas — réécrivez d'abord la fonction.
- L'astuce : trouver une expression équivalente 等价 qui coïncide avec l'originale partout sauf au point problématique.
- Puisqu'une limite ignore le point unique $x=c$, la fonction réécrite a la même limite.
- Trois outils font presque tout le travail : factoriser, rationaliser et combiner les fractions.
Algebraic manipulation replaces the function with an ____ one that agrees everywhere except the removed point. · La manipulation algébrique remplace la fonction par une ____ qui coïncide partout sauf au point supprimé.
Same values off the hole means the same limit. · Mêmes valeurs loin du trou signifie même limite.
Tool 1 — factor and cancel
- A $\tfrac00$ in a rational function means $(x-c)$ divides both top and bottom.
- Use factoring 因式分解 on each, cancel the common $(x-c)$, then substitute.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- The cancelled form is identical to the original for every $x\neq 3$ — exactly where the limit lives.
Outil 1 — factoriser et annuler
- Un $\tfrac00$ dans une fonction rationnelle signifie que $(x-c)$ divise les deux haut et bas.
- Utilisez la factorisation 因式分解 sur chacun, annulez le $(x-c)$ commun, puis substituez.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- La forme annulée est identique à l'originale pour toute $x\neq 3$ — exactement là où réside la limite.
The curve is smooth except at the hole · La courbe est lisse sauf au trou
y = x + 3 (from cancelling (x−3)) · y = x + 3 (issu de l'annulation de (x−3))
After you factor and cancel, the graph is an ordinary curve with a single missing point — the limit reads off that gap. · Après avoir factorisé et annulé, le graphique est une courbe ordinaire avec un seul point manquant — la limite se lit sur cet espace.
Evaluate · Évaluer $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$. · Évaluez $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$.
Factor: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$. · Factoriser : $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$.
Tool 2 — rationalize the root
- When a square root causes the $\tfrac00$, multiply top and bottom by the conjugate 共轭.
- This clears the root and exposes a cancellable factor.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
Outil 2 — rationaliser la racine
- Quand une racine carrée cause le $\tfrac00$, multipliez haut et bas par le conjugué 共轭.
- Cela élimine la racine et expose un facteur annulable.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
The limit $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ is best handled by... · La limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ est mieux traitée par...
A root causing $\tfrac00$ calls for the conjugate; here the limit is $\tfrac16$. · Une racine causant $\tfrac00$ appelle la conjuguée ; ici la limite est $\tfrac16$.
Evaluate · Évaluer $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$. · Évaluez $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
Rationalize to $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$. · Rationaliser vers $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$.
Tool 3 — combine the fractions
- A difference of fractions like $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ over $x$ hides a factor once you use a common denominator.
- Combine into a single fraction, simplify, and the $(x-c)$ cancels.
- After any of these moves, finish with direct substitution — the door is now unlocked.
- Whichever tool you use, you are producing an equivalent function that lets substitution succeed.
Outil 3 — combiner les fractions
- Une différence de fractions comme $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ sur $x$ cache un facteur une fois que vous utilisez un dénominateur commun.
- Combinez en une seule fraction, simplifiez, et le $(x-c)$ s'annule.
- Après l'un de ces mouvements, terminez par la substitution directe — la porte est maintenant ouverte.
- Quel que soit l'outil utilisé, vous produisez une fonction équivalente qui permet à la substitution de réussir.
Select all · tout algebraic tools that can resolve a $\tfrac00$ limit. · Sélectionnez toutes les outils algébriques capables de résoudre une limite $\tfrac00$.
The first three are legitimate rewrites; rounding is not a valid technique. · Les trois premières sont des réécriture légitimes ; arrondir n'est pas une technique valide.
Cancelling $(x-c)$ changes the function at exactly one point: the rewritten expression is defined at $c$ while the original has a hole there. That is fine for the limit (which never looks at $x=c$), but do not claim the two functions are identical — they differ at the removed point.
L'annulation de $(x-c)$ modifie la fonction en un seul point exact : l'expression réécrite est définie en $c$ tandis que l'originale y a un trou. C'est acceptable pour la limite (qui ne regarde jamais $x=c$), mais ne prétendez pas que les deux fonctions sont identiques — elles diffèrent au point supprimé.
After cancelling $(x-3)$, the simplified function is exactly identical to the original at every point including $x=3$. · Après avoir annulé $(x-3)$, la fonction simplifiée est exactement identique à l'originale en chaque point y compris $x=3$.
They agree everywhere except $x=3$, where the original has a hole. The limit is unaffected, but the functions differ there. · Elles coïncident partout sauf en $x=3$, où l'original a un trou. La limite est inchangée, mais les fonctions diffèrent là.
Find $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- Substitution gives $\tfrac00$ — factor both.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ for $x\neq -1$.
- Substitute: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
Trouvez $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- La substitution donne $\tfrac00$ — factorisez les deux.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ pour $x\neq -1$.
- Substituez : $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
When substitution gives $\tfrac00$, rewrite the function into an equivalent form that agrees everywhere except at $c$: factor and cancel, rationalize with a conjugate, or combine fractions. Then substitute. The rewrite has the same limit because a limit ignores the single removed point.
Quand la substitution donne $\tfrac00$, réécrivez la fonction dans une formule équivalente qui coïncide partout sauf en $c$ : factorisez et annulez, rationalisez avec un conjugué, ou combinez les fractions. Ensuite, substituez. La réécriture a la même limite car une limite ignore le point unique supprimé.