The Poisson distribution · La loi de Poisson
| English | Français |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution de Poisson |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalle |
| mean/miːn/ | moyenne |
| variance/ˈveərɪəns/ | écart |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | surdispersion |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | paramètre |
The queue that never ends
- Customers arrive at a shop at an average rate of 3 per minute. What's the probability that exactly 5 arrive in the next minute?
- The Poisson distribution 泊松分布 models rare events happening at a steady rate — from phone calls to radioactive decay.
La file d'attente sans fin
- Des clients arrivent dans un magasin à un taux moyen de 3 par minute. Quelle est la probabilité qu'exactement 5 arrivent dans la prochaine minute ?
- La distribution de Poisson 泊松分布 modélise les événements rares se produisant à un rythme constant — des appels téléphoniques à la désintégration radioactive.
The Poisson distribution
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ models the number of random events in a fixed interval 区间 at a steady rate $\lambda$:
Worked example. Calls arrive at a rate of $\lambda = 4$ per hour. P(exactly 2 calls) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
People arriving at random in a queue follow a Poisson distribution
La distribution de Poisson
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ modélise le nombre d'événements aléatoires dans un intervalle fixe 区间 à un rythme constant $\lambda$ :
Exemple résolu. Les appels arrivent à un taux de $\lambda = 4$ par heure. P(exactement 2 appels) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
Des personnes arrivant au hasard dans une file suivent une distribution de Poisson
The Poisson distribution · La loi de Poisson
X ~ Po(λ)
The Poisson counts random events in an interval. Its mean · moyenne and · et variance are both λ. · La loi de Poisson compte des événements aléatoires dans un intervalle. Sa moyenne et sa variance sont toutes deux λ.
For X ~ Po(3), find P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Give your answer to 3 decimal places. · Pour X ~ Po(3), trouvez P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Donnez votre réponse à 3 décimales.
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
For X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Find it (3 dp). · Pour X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Calculez-le (3 décimales).
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
Match each Poisson idea to its result. · Associez chaque idée de Poisson à son résultat.
For a Poisson distribution the mean and the variance are both lambda. · Pour une loi de Poisson, la moyenne et la variance sont toutes deux lambda.
Properties of the Poisson
- For a Poisson variable, the mean 平均数 and variance 方差 both equal $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- This is unique — no other common distribution has this property.
For Po(3) the mean and variance are both 3; the bars give P(X = k).
Mean = variance is the test. If your data has mean ≈ variance, the Poisson model may be appropriate. If variance is much larger than the mean, the events are not independent (overdispersion 过度离散) and Poisson is wrong.
Propriétés de la distribution de Poisson
- Pour une variable de Poisson, la moyenne 平均数 et la variance 方差 valent toutes deux $\lambda$ : $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- C'est unique — aucune autre distribution courante n'a cette propriété.
Pour Po(3), la moyenne et la variance valent toutes deux 3 ; les barres donnent P(X = k).
Moyenne = variance est le test. Si vos données ont une moyenne ≈ variance, le modèle de Poisson peut être approprié. Si la variance est beaucoup plus grande que la moyenne, les événements ne sont pas indépendants (surdispersion 过度离散) et Poisson est incorrect.
For X ~ Po(3), what is the mean of X? · Pour X ~ Po(3), quelle est la moyenne de X ?
For a Poisson variable, the mean equals λ = 3 (and so does the variance). · Pour une variable de Poisson, la moyenne est égale à λ = 3 (et de même pour la variance).
For X ~ Po(3), what is the variance of X? · Pour X ~ Po(3), quelle est la variance de X ?
For a Poisson variable, the variance also equals λ = 3. · Pour une variable de Poisson, la variance est également égale à λ = 3.
For a Poisson distribution, the mean and variance are always equal. · Pour une loi de Poisson, la moyenne et la variance sont toujours égales.
This is a defining property of the Poisson distribution: E(X) = Var(X) = λ. · C'est une propriété définissante de la loi de Poisson : E(X) = Var(X) = λ.
Poisson approximation to the binomial
- The Poisson approximates the binomial when $n$ is large and $p$ is small.
- Use $\lambda = np$ as the Poisson parameter 参数.
- Example: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
Approximation de Poisson à la binomiale
- La Poisson approxime la binomiale lorsque $n$ est grand et $p$ est petit.
- Utilisez $\lambda = np$ comme paramètre de Poisson 参数.
- Exemple : $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). Approximate with Poisson: λ = np. Find λ. · X ~ B(200, 0.01). Approximez avec Poisson : λ = np. Trouvez λ.
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
Worked example — approximation
- $X \sim B(100, 0.02)$. Approximate with Poisson: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- The normal distribution approximates the binomial distribution (with a continuity correction) when appropriate.
Exemple résolu — approximation
- $X \sim B(100, 0.02)$. Approximez avec Poisson : $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- La distribution normale approxime la distribution binomiale (avec une correction de continuité) quand c'est approprié.
You've got it
- Poisson: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- mean and variance both equal $\lambda$
- approximates the binomial for large $n$, small $p$ (use $\lambda = np$)
Vous avez compris
- Poisson : $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- la moyenne et la variance valent toutes deux $\lambda$
- approxime la binomiale pour un grand $n$, petit $p$ (utilisez $\lambda = np$)