Complex numbers · Nombres complexes
| English | Français |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | nombre complexe |
| real part/rɪəl pɑːt/ | partie réelle |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | partie imaginaire |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | conjugué |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | module |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argument |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | diagramme d'Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forme polaire |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminant |
The number that doesn't exist
- What is $\sqrt{-1}$? For centuries, mathematicians said it doesn't exist. Then they discovered that pretending it does — calling it $i$ — unlocks solutions to equations that otherwise have none.
- Complex numbers 复数 extend the number line into a plane, and they're essential for electrical engineering, quantum mechanics, and signal processing.
Le nombre qui n'existe pas
- Que vaut $\sqrt{-1}$ ? Pendant des siècles, les mathématiciens ont dit qu'il n'existe pas. Puis ils ont découvert que le faire croire — l'appeler $i$ — débloque des solutions d'équations qui n'en auraient autrement aucune.
- Les nombres complexes 复数 étendent la ligne numérique vers un plan, et ils sont essentiels pour l'électrotechnique, la mécanique quantique et le traitement du signal.
Complex numbers
- A complex number is $z = x + iy$, where $i^2 = -1$ — $x$ is the real part 实部, $y$ the imaginary part 虚部.
- The conjugate 共轭 $z^* = x - iy$. Real-coefficient polynomials have non-real roots in conjugate pairs.
- The modulus 绝对值 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; the argument 辐角 is the angle from the positive real axis.
Worked example. $z = 3 + 4i$. Modulus $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Conjugate $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, not $1$. When multiplying complex numbers, remember that $i^2 = -1$. For example, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
Self-similar patterns like Romanesco arise from iterating in the complex plane
Nombres complexes
- Un nombre complexe est $z = x + iy$, où $i^2 = -1$ — $x$ est la partie réelle 实部, $y$ la partie imaginaire 虚部.
- Le conjugué 共轭 $z^* = x - iy$. Les polynômes à coefficients réels ont des racines non réelles par paires conjuguées.
- Le module 绝对值 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ; l'argument 辐角 est l'angle par rapport à l'axe réel positif.
Exemple corrigé. $z = 3 + 4i$. Module $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Conjugué $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, pas $1$. Lors de la multiplication de nombres complexes, rappelez-vous que $i^2 = -1$. Par exemple, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
Des motifs autosimilaires comme le choux romanesco naissent de l'itération dans le plan complexe
The Argand diagram · Le diagramme d'Argand
z = x + yi
Plot a complex number as a point: its distance from O is the modulus, its angle is the argument. · Représentez un nombre complexe comme un point : sa distance à O est le module, son angle est l'argument.
What is the modulus of the complex number 3 + 4i? · Quel est le module du nombre complexe 3 + 4i ?
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
The conjugate of z = 5 + 2i is: · Le conjugué de z = 5 + 2i est :
The conjugate flips the sign of the imaginary part: z* = 5 − 2i. · Le conjugué inverse le signe de la partie imaginaire : z* = 5 − 2i.
What is the value of i²? · Quelle est la valeur de i² ?
By definition of the imaginary unit, i² = −1. · Par définition de l'unité imaginaire, i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. What is a (the real part)? · (2 + i)(3 + i) = a + bi. Quelle est la valeur de a (la partie réelle) ?
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. Real part = 5. · (2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. Partie réelle = 5.
Argand diagram 阿干图 and polar form 极坐标形式
- Plot $z$ as a point on an Argand diagram (real axis horizontal, imaginary axis vertical).
On an Argand diagram, the modulus |z| is the distance from the origin and the argument is the angle θ.
- Polar form: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — multiplying multiplies moduli and adds arguments.
Diagramme d'Argand 阿干图 et forme polaire 极坐标形式
- Placez $z$ comme un point sur un diagramme d'Argand (axe réel horizontal, axe imaginaire vertical).
Sur un diagramme d'Argand, le module |z| est la distance à l'origine et l'argument est l'angle θ.
- Forme polaire : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — multiplier multiplie les modules et ajoute les arguments.
Division using the conjugate
- To divide, multiply top and bottom by the conjugate of the bottom.
- Example: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
Division utilisant le conjugué
- Pour diviser, multipliez le haut et le bas par le conjugué du bas.
- Exemple : $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
(3+i)/(1−i) = a + bi. What is b (the imaginary part)? · (3+i)/(1−i) = a + bi. Quelle est la valeur de b (la partie imaginaire) ?
Multiply by (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. Imaginary part = 2. · Multipliez par (1+i)/(1+i) : (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. Partie imaginaire = 2.
Solving equations with complex roots
- A quadratic with negative discriminant 判别式 has complex roots: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- Real-coefficient polynomials always have non-real roots in conjugate pairs: if $a + bi$ is a root, so is $a - bi$.
allow_no_figure: Complex number arithmetic and the Argand diagram are algebraic/geometric concepts that are effectively conveyed through notation and worked examples.
- Besides Cartesian and polar forms, find square roots of a complex number and sketch loci (e.g. $|z-a|=r$).
Résolution d'équations avec des racines complexes
- Un quadratique avec discriminant négatif 判别式 a des racines complexes : $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- Les polynômes à coefficients réels ont toujours des racines non réelles par paires conjuguées : si $a + bi$ est une racine, alors $a - bi$ l'est aussi.
allow_no_figure: Les opérations arithmétiques sur les nombres complexes et le diagramme d'Argand sont des concepts algébriques/géométriques transmis efficacement par la notation et les exemples corrigés.
- Outre les formes cartésiennes et polaires, trouvez les racines carrées d'un nombre complexe et esquissez des lieux géométriques (ex. : $|z-a|=r$).
If a polynomial with real coefficients has root 2 + 3i, it must also have root 2 − 3i. · Si un polynôme à coefficients réels a pour racine 2 + 3i, il doit aussi avoir pour racine 2 − 3i.
Real-coefficient polynomials always have non-real roots in conjugate pairs. · Les polynômes à coefficients réels ont toujours des racines non réelles par paires conjuguées.
You've got it
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; conjugate $z^* = x - iy$; modulus $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- plot on the Argand diagram; polar form $z = re^{i\theta}$
- divide by multiplying top and bottom by the bottom's conjugate
Vous avez compris
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; conjugate $z^* = x - iy$; module $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- tracer sur le plan d'Argand; forme polaire $z = re^{i\theta}$
- diviser en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur