Algebra (Pure 3) · Algèbre (Pure 3)
| English | Français |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | les fractions partielles |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fonction rationnelle |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | factoriser |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | facteur répété |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | quadratique irréductible |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | développement binomial |
Splitting the unsplitable
- You can't integrate $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ directly. But split it into $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ and each piece is a simple logarithm.
- Partial fractions 部分分式 turn hard rational functions 有理函数 into easy pieces — essential for integration and series expansion.
Découper l'indécoupable
- Vous ne pouvez pas intégrer $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ directement. Mais découpez-le en $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ et chaque morceau est une logarithme simple.
- Les fractions partielles 部分分式 transforment des fonctions rationnelles 有理函数 difficiles en morceaux faciles — essentiel pour l'intégration et les développements en série.
Partial fractions
- A fraction with a factorised 因式分解 bottom splits into simpler fractions:
- This makes a rational function easy to integrate or expand.
Worked example. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. Multiply through: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. Set $x = -1$: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. Set $x = 2$: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. Result: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
The scalar product measures how much of b points along a: |b| cos theta
Fractions partielles
- Une fraction avec un dénominateur factorisé 因式分解 se scinde en fractions plus simples :
- Cela rend une fonction rationnelle facile à intégrer ou à développer.
Exemple résolu. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. Multipliez : $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. Posons $x = -1$ : $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. Posons $x = 2$ : $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. Résultat : $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
Le produit scalaire mesure combien b pointe dans la direction de a : |b| cos θ
Reciprocal curves · Courbes réciproques
y = a/(x − b) + c
Partial fractions split a hard fraction into simple reciprocal · réciproque pieces — each with a vertical and a horizontal asymptote. · Les fractions partielles décomposent une fraction difficile en pièces simples réciproques — chacune possédant une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
Writing (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2), substitute x = 2 to find B. · Écrire (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2), substituez x = 2 pour trouver B.
At x = 2: 2 + 4 = B(2 + 1), so 6 = 3B, giving B = 2. · En x = 2 : 2 + 4 = B(2 + 1), donc 6 = 3B, ce qui donne B = 2.
Partial fractions make a rational function easier to integrate. · Les fractions partielles facilitent l'intégration d'une fonction rationnelle.
Each simple fraction integrates to a logarithm, so splitting first makes integration easy. · Chaque fraction simple s'intègre en un logarithme, donc la décomposition préalable facilite l'intégration.
Repeated and quadratic factors
- Repeated factor 重复因式 $(cx+d)^2$: needs $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$.
- Irreducible quadratic 不可约二次式 $(x^2 + a^2)$: needs $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$.
Don't forget the repeated factor term. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. Missing the $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ term is a common error.
Holiday figure
Facteurs répétés et quadratiques
- Facteur répété 重复因式 $(cx+d)^2$ : nécessite $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$.
- Quadratique irréductible 不可约二次式 $(x^2 + a^2)$ : nécessite $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$.
N'oubliez pas le terme du facteur répété. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. Omettre le terme $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ est une erreur fréquente.
Figure de vacances
For 1/(x(x+1)²), the partial fraction form includes: · Pour 1/(x(x+1)²), la forme des fractions partielles comprend :
A repeated factor (x+1)² needs both B/(x+1) and C/(x+1)² terms. · Un facteur répété (x+1)² nécessite à la fois les termes B/(x+1) et C/(x+1)².
Binomial expansion 二项展开式 for rational powers
- Works for fractional/negative $n$ when $|x| < 1$:
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
Développement binomial 二项展开式 pour puissances rationnelles
- Fonctionne pour des puissances fractionnaires/négatives $n$ quand $|x| < 1$ :
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
The binomial expansion (1+x)ⁿ for a fractional or negative n is valid only when: · Le développement binomial (1+x)ⁿ pour un n fractionnaire ou négatif n'est valide que lorsque :
For non-positive-integer powers the series converges only for |x| < 1. · Pour les puissances non positives-entières, la série converge uniquement si |x| < 1.
In the expansion of (1+x)^(1/2), the coefficient of x² is n(n-1)/2! where n=1/2. Find it. · Dans le développement de (1+x)^(1/2), le coefficient de x² est n(n-1)/2! où n=1/2. Calculez-le.
(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
Worked example — integrating with partial fractions
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: Algebraic technique (partial fractions decomposition) — the visual content is the algebraic manipulation itself, not a diagram.
- Use the factor theorem and remainder theorem: dividing a polynomial gives a quotient and a remainder.
Exemple résolu — intégration avec fractions partielles
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: Technique algébrique (décomposition en fractions partielles) — le contenu visuel est lui-même la manipulation algébrique, pas un diagramme.
- Utilisez le théorème du facteur et le théorème du reste : diviser un polynôme donne un quotient et un reste.
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. At x = 3, what is 2 ln|x-2| (to 2 dp)? · ∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. En x = 3, quelle est la valeur de 2 ln|x-2| (arrondi à 2 décimales) ?
2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
You've got it
- partial fractions split a rational function for integrating/expanding
- match the form to the bottom (repeated factor → an extra $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$ term)
- the binomial works for rational $n$ when $|x| < 1$
Vous avez compris
- les fractions partielles divisent une fonction rationnelle pour l'intégrer/développer
- adaptez la forme au dénominateur (facteur répété → un terme $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$ supplémentaire)
- le binôme fonctionne pour des puissances rationnelles $n$ quand $|x| < 1$