Numerical solution of equations · Solution numérique d'équations
| English | Français |
|---|---|
| root/ruːt/ | racine |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | méthode numérique |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | justesse |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | changement de signe |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | itération |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | converger |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | formule itérative |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | réarrangement |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergent |
The root 根 you can't see
- Some equations have no neat algebraic solution. $x^3 + x - 1 = 0$ can't be factorised.
- But you know a root exists between $0$ and $1$ because the function changes sign. Numerical methods 数值方法 let you find it to any accuracy 精度.
La racine 根 que vous ne pouvez pas voir
- Certaines équations n'ont pas de solution algébrique simple. $x^3 + x - 1 = 0$ ne peut pas être factorisé.
- Mais vous savez qu'une racine existe entre $0$ et $1$ car la fonction change de signe. Les méthodes numériques 数值方法 vous permettent de la trouver avec n'importe quelle précision 精度.
Locating a root
- Many equations can't be solved exactly. A root is a solution.
- Sign change 变号: if $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs (and no break between them), a root lies between $a$ and $b$.
Worked example. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (negative), $f(1) = 1$ (positive). Sign change → root between $0$ and $1$.
Sign change doesn't guarantee exactly one root. There could be 3 roots (or any odd number) between $a$ and $b$. The sign change only tells you there's at least one.
Iteration 迭代: step up to the curve and across to y = x; the steps converge 收敛 to a root
Localiser une racine
- De nombreuses équations ne peuvent pas être résolues exactement. Une racine est une solution.
- Changement de signe 变号 : si $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés (et aucune discontinuité entre eux), une racine se trouve entre $a$ et $b$.
Exemple résolu. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (négatif), $f(1) = 1$ (positif). Changement de signe → racine entre $0$ et $1$.
Un changement de signe ne garantit pas une seule racine. Il pourrait y avoir 3 racines (ou tout nombre impair) entre $a$ et $b$. Le changement de signe indique seulement qu'il y a au moins une.
Itération 迭代: montez vers la courbe puis traversez jusqu'à y = x ; les étapes convergent 收敛 vers une racine
Where is the root? · Où se trouve la racine ?
y = ax³ + bx² + cx + d
A root · racine is where the curve crosses zero. A sign change in f(x) traps a root between two x-values. · Une racine est là où la courbe traverse zéro. Un changement de signe de f(x) encadre une racine entre deux valeurs de x.
If f(a) and f(b) have opposite signs (and f is continuous between them), then between a and b there is: · Si f(a) et f(b) ont des signes opposés (et f est continue entre eux), alors entre a et b il y a :
A sign change of a continuous function guarantees a root between a and b. · Un changement de signe d'une fonction continue garantit une racine entre a et b.
f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 and f(1) = 1. Between which two integers is the root? · f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 et f(1) = 1. Entre quels deux entiers se trouve la racine ?
Sign change between 0 and 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), so root is between 0 and 1. · Changement de signe entre 0 et 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), donc la racine est comprise entre 0 et 1.
Iteration
- Rearrange the equation into the form $x = F(x)$.
- Use the iterative formula 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ from a first guess $x_0$.
- If the values settle, they converge to a root. Keep going until steady to the asked accuracy.
Iteration: starting from $x_0$, each step applies $F$ and reflects in $y = x$. The cobweb spirals into the fixed point — the root.
Itération
- Réarrangez l'équation sous la forme $x = F(x)$.
- Utilisez la formule itérative 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ à partir d'une première estimation $x_0$.
- Si les valeurs se stabilisent, elles convergent vers une racine. Continuez jusqu'à atteindre la précision demandée.
Itération : partant de $x_0$, chaque étape applique $F$ et reflète dans $y = x$. La toile d'araignée spirale vers le point fixe — la racine.
An iterative formula has the form: · Une formule itérative a la forme :
Iteration repeatedly applies x_{n+1} = F(x_n) from a first guess. · L'itération applique répétitivement x_{n+1} = F(x_n) à partir d'une première estimation.
If the iteration values settle down to a steady number, they have converged to a root. · Si les valeurs d'itération se stabilisent vers un nombre constant, elles ont convergé vers une racine.
Convergence means the sequence approaches a fixed value — a root of the equation. · La convergence signifie que la suite s'approche d'une valeur fixe — une racine de l'équation.
Using x_{n+1} = ∛(1 − x_n) with x₀ = 0, what is x₁ (2 dp)? · En utilisant x_{n+1} = ∛(1 − x_n) avec x₀ = 0, quelle est la valeur de x₁ (arrondi à 2 décimales) ?
x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
Worked example — iteration
- Solve $x^3 + x - 1 = 0$ using $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, starting from $x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- The values converge to $x \approx 0.682$.
Exemple résolu — itération
- Résolvez $x^3 + x - 1 = 0$ en utilisant $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, en partant de $x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- Les valeurs convergent vers $x \approx 0.682$.
An iteration x_{n+1} = F(x_n) always converges regardless of the starting value. · Une itération x_{n+1} = F(x_n) converge toujours peu importe la valeur initiale.
Convergence requires |F′(x)| < 1 near the root. Poor rearrangements or starting values can diverge. · La convergence nécessite |F′(x)| < 1 près de la racine. De mauvaises réarrangements ou valeurs initiales peuvent diverger.
Choosing a rearrangement 重新排列
- Not all rearrangements converge. The iteration $x_{n+1} = F(x_n)$ converges when $|F'(x)| < 1$ near the root.
- If it diverges 发散 (values move away), try a different rearrangement.
Choisir un réarrangement 重新排列
- Tous les réarrangements ne convergent pas. L'itération $x_{n+1} = F(x_n)$ converge lorsque $|F'(x)| < 1$ est proche de la racine.
- Si elle diverge 发散 (les valeurs s'éloignent), essayez un autre réarrangement.
You've got it
- a sign change of $f$ between $a$ and $b$ traps a root in between
- iteration: $x_{n+1} = F(x_n)$ from a starting guess
- if the values converge (settle), they approach a root
- convergence requires $|F'(x)| < 1$ near the root
Vous avez compris
- un changement de signe de $f$ entre $a$ et $b$ piège une racine entre les deux
- itération : $x_{n+1} = F(x_n)$ à partir d'une estimation initiale
- si les valeurs convergent (se stabilisent), elles approchent une racine
- la convergence nécessite $|F'(x)| < 1$ près de la racine