Series · Séries
| English | Français |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | converge |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | suite géométrique |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | développement binomial |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coefficient binomial |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | suite arithmétique |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | différence constante |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | suite géométrique |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rapport constant |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | somme à l'infini |
The infinite sum that converges 收敛
- Add $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ forever. The total? Exactly $2$.
- This is a geometric series 等比级数 with ratio $\dfrac{1}{2}$. Not all infinite sums behave this nicely — but the ones that do are powerful tools in finance, physics, and computing.
La somme infinie qui converge 收敛
- Ajoutez $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ indéfiniment. Le total ? Exactement $2$.
- C'est une série géométrique 等比级数 avec raison $\dfrac{1}{2}$. Toutes les sommes infinies ne se comportent pas ainsi — mais celles qui le sont sont des outils puissants en finance, physique et informatique.
The binomial expansion 二项展开式
- For a positive integer $n$:
- where $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ is a binomial coefficient 二项式系数.
Worked example. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. The coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ are the 4th row of Pascal's triangle.
Développement binomial 二项展开式
- Pour un entier positif $n$ :
- où $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ est un coefficient binomial 二项式系数.
Exemple résolu. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. Les coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ sont la 4ème ligne du triangle de Pascal.
What is the binomial coefficient C(5, 2) = 5! / (2! 3!)? · Quelle est le coefficient binomial C(5, 2) = 5! / (2! 3!) ?
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
Arithmetic progressions 等差数列 (AP)
- An AP adds a constant common difference 公差 $d$ each step: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- $n$th term: $u_n = a + (n-1)d$.
- Sum of first $n$ terms: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
Suites arithmétiques 等差数列 (AP)
- Une suite arithmétique ajoute une différence commune constante 公差 $d$ à chaque étape : $a, a+d, a+2d, \ldots$
- Terme n°$n$ : $u_n = a + (n-1)d$.
- Somme des premiers $n$ termes : $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
An AP has first term a = 3 and common difference d = 4. What is the 5th term? · Une progression arithmétique (AP) a premier terme a = 3 et raison commune d = 4. Quel est le 5ème terme ?
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
An AP has a = 2 and d = 3. What is the sum of the first 5 terms? · Une progression arithmétique a a = 2 et d = 3. Quelle est la somme des 5 premiers termes ?
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
Geometric progressions 等比数列 (GP)
- A GP multiplies by a constant common ratio 公比 $r$ each step: $a, ar, ar^2, \ldots$
- $n$th term: $u_n = ar^{n-1}$.
- Sum of first $n$ terms: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (for $r \neq 1$).
AP grows linearly (add $d$); GP grows exponentially (multiply by $r$). For $r > 1$, the GP eventually dwarfs the AP.
Suites géométriques 等比数列 (GP)
- Une suite géométrique multiplie par un rapport commun constant 公比 $r$ à chaque étape : $a, ar, ar^2, \ldots$
- Terme n°$n$ : $u_n = ar^{n-1}$.
- Somme des premiers $n$ termes : $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (pour $r \neq 1$).
AP croît linéairement (ajouter $d$) ; GP croît exponentiellement (multiplier par $r$). Pour $r > 1$, la GP finit par dépasser largement l'AP.
Build a sequence · Construire une suite
uₙ = a · rⁿ⁻¹
Each term multiplies by r. When |r| < 1 the terms shrink and the sum to infinity converges. · Chaque terme est multiplié par r. Quand |r| < 1, les termes diminuent et la somme à l'infini converge.
A GP has a = 2 and r = 3. What is the 4th term? · Une progression géométrique a a = 2 et r = 3. Quel est le 4ème terme ?
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
Sum to infinity 无穷和
- A GP converges when $|r| < 1$ — the terms get smaller and smaller.
- Sum to infinity: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ is essential. If $|r| \geq 1$, the terms don't shrink and the infinite sum diverges (grows without bound). The formula $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ only applies when the series converges.
- An arithmetic progression has a common difference; a geometric progression a common ratio. A convergent geometric progression ($|r|<1$) shows convergence to a sum to infinity.
Somme à l'infini 无穷和
- Une suite GP converge lorsque $|r| < 1$ — les termes deviennent de plus en plus petits.
- Somme à l'infini : $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ est essentiel. Si $|r| \geq 1$, les termes ne diminuent pas et la somme infinie diverge (croît sans limite). La formule $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ ne s'applique que lorsque la série converge.
- Une suite arithmétique a une différence commune ; une suite géométrique a un rapport commun. Une suite géométrique convergente ($|r|<1$) montre une convergence vers une somme à l'infini.
A GP has a = 8 and r = 0.5. What is the sum to infinity? · Une suite géométrique a = 8 et r = 0.5. Quelle est la somme à l'infini ?
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
A geometric series with r = 1.5 has a finite sum to infinity. · Une série géométrique avec r = 1.5 a une somme finie à l'infini.
The sum to infinity formula only applies when |r| < 1. With r = 1.5, the series diverges. · La formule de la somme à l'infini s'applique uniquement lorsque |r| < 1. Avec r = 1.5, la série diverge.
Match each formula to what it computes. · Associez chaque formule à ce qu'elle calcule.
d marks the arithmetic family, r the geometric one — recognising the formula is half the exam question. · d marque la famille arithmétique, r la géométrique — reconnaître la formule représente la moitié de la question d'examen.
You've got it
- binomial expansion: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- if $|r|<1$, sum to infinity $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$
Vous avez compris
- développement binomial : $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP : $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP : $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- si $|r|<1$, somme à l'infini $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$