Circular measure · Mesure circulaire
| English | Français |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radians |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longueur d'arc |
| sector area/ˈsektə ˈeərɪə/ | aire d'un secteur |
| segment/ˈseɡmənt/ | segment |
Why radians 弧度?
- Engineers measure angles in degrees. Mathematicians prefer radians — and for good reason.
- A radian is the natural unit: it's the angle that cuts off an arc equal to the radius.
- With radians, the formulas for arc length 弧长 and sector area 扇形面积 become beautifully simple.
Pourquoi les radians 弧度?
- Les ingénieurs mesurent les angles en degrés. Les mathématiciens préfèrent les radians — et pour de bonnes raisons.
- Un radian est l'unité naturelle : c'est l'angle qui intercepte un arc égal au rayon.
- Avec les radians, les formules pour la longueur d'arc 弧长 et l'aire du secteur 扇形面积 deviennent magnifiquement simples.
What is a radian?
- A radian is the angle that cuts off an arc equal to the radius.
- The link: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- degrees → radians: multiply by $\dfrac{\pi}{180}$; radians → degrees: multiply by $\dfrac{180}{\pi}$.
Common conversions. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ rad; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ rad.
Qu'est-ce qu'un radian ?
- Un radian est l'angle qui intercepte un arc égal au rayon.
- Le lien : $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- degrés vers radians : multiplier par $\dfrac{\pi}{180}$ ; radians vers degrés : multiplier par $\dfrac{180}{\pi}$.
Conversions courantes. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ rad ; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad ; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad ; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ rad.
π radians equals how many degrees? · π radians correspondent à combien de degrés ?
By definition, π radians = 180°. · Par définition, π radians = 180°.
60° in radians is: · 60° en radians est :
60° × π/180 = 60π/180 = π/3.
Arc length and sector area
- For a sector with radius $r$ and angle $\theta$ in radians:
- arc length $s = r\theta$,
- sector area $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
The elegance of radians: arc length $= r\theta$ and sector area $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. No messy $\dfrac{\theta}{360}$ fractions needed.
Radians only. The formulas $s = r\theta$ and $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ work only when $\theta$ is in radians. If your angle is in degrees, convert first.
Longueur d'arc et aire de secteur
- Pour un secteur de rayon $r$ et d'angle $\theta$ en radians :
- longueur d'arc $s = r\theta$,
- aire du secteur $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
L'élégance des radians : longueur d'arc $= r\theta$ et aire de secteur $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. Pas besoin de fractions désordonnées $\dfrac{\theta}{360}$.
Radians uniquement. Les formules $s = r\theta$ et $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ fonctionnent uniquement lorsque $\theta$ est en radians. Si votre angle est en degrés, convertissez-le d'abord.
The sector · Le secteur
s = rθ · A = ½r²θ
Drag the angle θ (in radians) and the radius · rayon r — the arc length and · et sector area follow. · Faites glisser l'angle θ (en radians) et le rayon r — la longueur de l'arc et l'aire du secteur suivent.
A sector has radius 5 and angle 2 radians. What is the arc length (s = rθ)? · Un secteur a un rayon de 5 et un angle de 2 radians. Quelle est la longueur de l'arc (s = rθ) ?
s = rθ = 5 × 2 = 10.
A sector has radius 4 and angle 0.5 radians. What is its area (A = ½r²θ)? · Un secteur a un rayon 4 et un angle de 0.5 radians. Quelle est son aire (A = ½r²θ) ?
A = ½ × 4² × 0.5 = ½ × 16 × 0.5 = 4.
The formula s = rθ works when θ is measured in degrees. · La formule s = rθ fonctionne lorsque θ est mesuré en degrés.
s = rθ only works when θ is in radians. Convert degrees to radians first. · s = rθ ne fonctionne que lorsque θ est en radians. Convertissez d'abord les degrés en radians.
Segment 弓形 area
- A segment is the region between a chord and the arc.
- Segment area = sector − triangle = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- The triangle area is $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (using the sine rule for area).
A tangent meets the circle once and is perpendicular to the radius there
Segment 弓形 area
- Un segment est la région comprise entre une corde et un arc.
- Aire du segment = secteur − triangle = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- L'aire du triangle est $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (en utilisant la formule de l'aire avec le sinus).
Une tangente rencontre le cercle en un seul point et est perpendiculaire au rayon à cet endroit
A segment has r = 6 and θ = π/3 radians. The segment area is ½r²(θ − sin θ). Find it (2 dp). · Un segment a r = 6 et θ = π/3 radians. L'aire du segment est ½r²(θ − sin θ). Calculez-la (2 décimales).
½ × 36 × (π/3 − sin(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26.
Worked example
- Sector: $r = 5$, $\theta = 2$ rad.
- Arc length $= 5 \times 2 = 10$.
- Sector area $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- Segment area $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
Exemple résolu
- Secteur : $r = 5$, $\theta = 2$ rad.
- Longueur d'arc $= 5 \times 2 = 10$.
- Aire du secteur $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- Aire du segment $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
You've got it
- $\pi$ radians $= 180^\circ$; convert by $\times\dfrac{\pi}{180}$ or $\times\dfrac{180}{\pi}$
- arc length $s = r\theta$; sector area $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ in radians)
- segment $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$
Vous avez compris
- $\pi$ radians $= 180^\circ$ ; convertir par $\times\dfrac{\pi}{180}$ ou $\times\dfrac{180}{\pi}$
- longueur d'arc $s = r\theta$ ; aire du secteur $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ en radians)
- segment $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$