Inference using normal and t-distributions · Inférence utilisant les distributions normale et de Student
| English | Français |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | échantillon |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution |
| variance/ˈveərɪəns/ | écart |
| tail/teɪl/ | queue (de distribution) |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | intervalle de confiance |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | degrés de liberté |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | erreur standard |
| paired/peəd/ | appariées |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | estimation poolée |
Small samples 样本, honest uncertainty
- With a huge sample you can use the normal distribution 分布. But with only, say, 8 measurements and an unknown spread, the normal is too confident.
- William Gosset, brewing at Guinness, invented the $t$-distribution to handle exactly this — small samples with unknown variance 方差.
Petits échantillons 样本, incertitude honnête
- Avec un grand échantillon, on peut utiliser la loi normale 分布. Mais avec seulement, disons, 8 mesures et une dispersion inconnue, la normale est trop confiante.
- William Gosset, brassant chez Guinness, a inventé la $t$-distribution pour gérer précisément ce cas — petits échantillons avec variance inconnue 方差.
When to use the t-distribution
- Use the $t$-distribution when the sample is small and the population variance is unknown (you estimate it with the sample's $s$).
- It is bell-shaped like the normal but with heavier tails 尾部 — wider, to admit the extra uncertainty.
The t-distribution is bell-shaped like the normal but with heavier tails; as the sample grows it approaches the normal.
Quand utiliser la loi t
- Utiliser la $t$-distribution lorsque l'échantillon est petit et que la variance de la population est inconnue (on l'estime avec la $s$ de l'échantillon).
- Elle est en forme de cloche comme la normale mais avec des queues plus épaisses 尾部 — plus larges, pour tenir compte de l'incertitude supplémentaire.
La loi t est en forme de cloche comme la normale mais avec des queues plus épaisses ; au fur et à mesure que l'échantillon augmente, elle tend vers la normale.
Inference & the normal curve · Inférence & la courbe normale
P(Z < z)
Tests and intervals read areas under the normal curve — slide z to find them. · Les tests et intervalles lisent les aires sous la courbe normale — faites glisser z pour les trouver.
You use the t-distribution (rather than the normal) when: · Vous utilisez la distribution de Student (au lieu de la normale) lorsque :
Small n with unknown σ → estimate with s and use t. · Petit n avec σ inconnu → estimer avec s et utiliser t.
The t-distribution has heavier tails than the normal distribution. · La distribution de Student a des queues plus lourdes que la distribution normale.
Heavier tails reflect the extra uncertainty from estimating the variance; t → normal as n grows. · Des queues plus lourdes reflètent l'incertitude supplémentaire due à l'estimation de la variance ; t → normal quand n augmente.
Confidence interval 置信区间 for the mean
- A confidence interval for the population mean:
- $t$ comes from the $t$-tables with $n - 1$ degrees of freedom 自由度; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ is the standard error 标准误.
Intervalle de confiance 置信区间 pour la moyenne
- Un intervalle de confiance pour la moyenne de la population :
- $t$ provient des tables $t$ avec $n - 1$ degrés de liberté 自由度 ; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ est l'erreur type 标准误.
For a single sample of size n = 10, how many degrees of freedom does the t-value use? · Pour un échantillon unique de taille n = 10, combien de degrés de liberté utilise la valeur t ?
Degrees of freedom = n − 1 = 9. · Degrés de liberté = n − 1 = 9.
The quantity s/√n is called the standard ______. · La quantité s/√n est appelée l'erreur standard ______.
The standard error of the mean is s/√n. · L'erreur standard de la moyenne est s/√n.
Worked example
- A sample of $n = 10$ has $s = 4$; for 95% with 9 degrees of freedom, $t = 2.262$.
- Margin $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
The t-distribution has a lower peak and heavier tails than the normal
Exemple résolu
- Un échantillon de $n = 10$ a $s = 4$ ; pour 95 % avec 9 degrés de liberté, $t = 2.262$.
- Marge $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 décimales).
La loi t a un sommet plus bas et des queues plus épaisses que la normale
A sample n = 10 has s = 4. With t = 2.262, what is the margin t × s/√n? (2 dp) · Un échantillon n = 10 a s = 4. Avec t = 2.262, quelle est la marge d'erreur t × s/√n ? (2 décimales)
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86.
Comparing two populations
- A 2-sample or paired 配对 $t$-test compares two populations.
- When the two are assumed to share a variance, combine them into a pooled estimate 合并估计 of $s^2$.
Degrees of freedom, not $n$. The $t$-value uses $n - 1$ degrees of freedom, not $n$. Reading the wrong row of the table is the most common error.
- For a small sample, base a hypothesis test on the $t$-distribution: a 2-sample t-test or a paired sample t-test.
Comparer deux populations
- Un test $t$-t à 2 échantillons ou apparié 配对 compare deux populations.
- Lorsque les deux partagent une variance supposée, les combiner dans une estimation poolée 合并估计 de $s^2$.
Degrés de liberté, pas $n$. La valeur $t$ utilise $n - 1$ degrés de liberté, pas $n$. Lire la mauvaise ligne du tableau est l'erreur la plus fréquente.
- Pour un petit échantillon, baser un test d'hypothèse sur la $t$-distribution : un test t à 2 échantillons ou un test t apparié.
You've got it
- small sample + unknown variance → use the $t$-distribution ($n-1$ degrees of freedom)
- CI for the mean: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, with standard error $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- compare two populations with a 2-sample or paired $t$-test (pool the variance when shared)
Vous avez compris
- petit échantillon + variance inconnue → utilisez la distribution $t$-t ($n-1$ degrés de liberté)
- IC pour la moyenne : $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, avec erreur type $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- comparez deux populations avec un test $t$-t à 2 échantillons ou apparié (regroupez la variance lorsqu'elle est partagée)