Similar shapes · Figuras similares
| English | Español |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | similar |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | factor de escala |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | congruentes |
The architect's blueprint
- An architect draws a building at 1:100 scale. Every measurement on the plan is $\dfrac{1}{100}$ of the real thing.
- The drawing and the building are similar 相似 — same shape, different size.
El plano del arquitecto
- Un arquitecto dibuja un edificio a escala 1:100. Cada medida en el plano es $\dfrac{1}{100}$ de la realidad.
- El dibujo y el edificio son semejantes — tienen la misma forma, pero diferente tamaño.
What makes shapes similar?
- Two shapes are similar if they have the same angles and all sides are multiplied by the same scale factor 比例因子 $k$.
- All circles are similar. All equilateral triangles are similar. Not all rectangles are similar.
- Shapes that are the exact same size and shape are called congruent 全等.
A triangle with sides $3, 4, 5$ and one with sides $6, 8, 10$: scale factor $k = 2$. Same angles ($90^{\circ}$), sides doubled. They are similar.
The three angles of a triangle add up to 180 degrees
¿Qué hace que las formas sean similares?
- Dos figuras son semejantes si tienen los mismos ángulos y todos sus lados están multiplicados por el mismo factor de escala $k$.
- Todos los círculos son similares. Todos los triángulos equiláteros son similares. No todos los rectángulos son similares.
- Figuras que son exactamente del mismo tamaño y forma se denominan congruentes.
Un triángulo con lados $3, 4, 5$ y otro con lados $6, 8, 10$: factor de escala $k = 2$. Mismos ángulos ($90^{\circ}$), lados duplicados. Son semejantes.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados
Similar shapes — enlargement · Figuras similares — ampliación
Similar shapes are the same shape but a different size. An enlargement scales every length by the same factor; angles stay the same. · Las figuras similares tienen la misma forma pero diferente tamaño. Una ampliación escala cada longitud por el mismo factor; los ángulos permanecen iguales.
Similar shapes have the same angles. · Las figuras similares tienen los mismos ángulos.
Similar shapes keep all angles equal; only the side lengths scale. · Las figuras similares mantienen todos los ángulos iguales; solo las longitudes de los lados se escalan.
Two similar triangles have sides 5 cm and 15 cm. What is the scale factor k? · Dos triángulos similares tienen lados de 5 cm y 15 cm. ¿Cuál es el factor de escala k?
k = 15/5 = 3.
Shapes that are exactly the same size AND shape are called ______. · Las figuras que son exactamente del mismo TAMAÑO Y FORMA se llaman ______.
Congruent shapes are identical in both size and shape (scale factor = 1). · Las figuras congruentes son idénticas tanto en tamaño como en forma (factor de escala = 1).
Area and volume scale differently (Extended) (Extended)
- Lengths scale by $k$, but:
Don't scale area like length. If the scale factor is $2$, the area ratio is $2^2 = 4$, not $2$. And the volume ratio is $2^3 = 8$.
Escalado de área y volumen (Ampliado) (Ampliado)
- Las longitudes escalan por $k$, pero:
No apliques la escala del área como si fuera la longitud. Si el factor de escala es $2$, la razón de áreas es $2^2 = 4$, no $2$. Y la razón de volúmenes es $2^3 = 8$.
Two similar shapes have lengths in the ratio 2:3. The area ratio is 4:b. What is b? · Dos figuras similares tienen longitudes en la proporción 2:3. La proporción de áreas es 4:b. ¿Cuál es b?
Area scales by k²: 2²:3² = 4:9, so b = 9. · El área se escala por k²: 2²:3² = 4:9, por lo tanto b = 9.
If the scale factor is 4, the area ratio is k²:1. What is k²? · Si el factor de escala es 4, la proporción de áreas es k²:1. ¿Cuál es k²?
4² = 16. Area scales as the square of the length scale factor. · 4² = 16. El área se escala como el cuadrado del factor de escala de longitud.
Worked example
- Two similar solids have lengths in the ratio $2:3$.
- Area ratio $= 2^2:3^2 = 4:9$.
- Volume ratio $= 2^3:3^3 = 8:27$.
- If the smaller has volume $40$ cm³: larger $= 40 \times \dfrac{27}{8} = 135$ cm³.
Ejemplo resuelto
- Dos sólidos semejantes tienen longitudes en la razón $2:3$.
- Relación de áreas $= 2^2:3^2 = 4:9$.
- Relación de volúmenes $= 2^3:3^3 = 8:27$.
- Si el más pequeño tiene un volumen de $40$ cm³: el más grande tendrá $= 40 \times \dfrac{27}{8} = 135$ cm³.
Two similar solids have lengths 2:3; the smaller has volume 40 cm³. Find the larger volume (cm³). · Dos sólidos similares tienen longitudes 2:3; el más pequeño tiene un volumen de 40 cm³. Encuentra el volumen del sólido mayor (cm³).
Volume ratio 8:27, so 40 × 27/8 = 135 cm³. · Proporción de volúmenes 8:27, por lo tanto 40 × 27/8 = 135 cm³.
Fun fact
- The surface area of a sphere scales as $r^2$, but its volume scales as $r^3$. That's why elephants need big ears (surface area for cooling) while mice don't — volume grows faster than surface area.
Two squares are always similar — same angles, sides scaled by a factor. Here the scale factor is $2$, so the area ratio is $4$.
Dato curioso
- El área superficial de una esfera escala como $r^2$, pero su volumen escala como $r^3$. Por eso los elefantes necesitan orejas grandes (superficie para enfriarse), mientras que los ratones no — el volumen crece más rápido que la superficie.
Dos cuadrados siempre son similares: mismos ángulos, lados escalados por un factor. Aquí el factor de escala es $2$, por lo que la razón de áreas es $4$.
Find a missing corresponding length
- Corresponding sides 4 cm and 10 cm give $k=10/4=2.5$ from small to large. A 6 cm side therefore becomes $L=kl=2.5(6)=15$ cm.
- In reverse, a 20 cm large side comes from $l=L/k=20/2.5=8$ cm. Core uses length ratios; Extended also uses area and volume ratios.
Encontrar una longitud correspondiente faltante
- Los lados correspondientes 4 cm y 10 cm proporcionan un factor de $k=10/4=2.5$ de pequeño a grande. Por lo tanto, un lado de 6 cm se convierte en $L=kl=2.5(6)=15$ cm.
- A la inversa, un lado grande de 20 cm proviene de $l=L/k=20/2.5=8$ cm. El contenido básico utiliza proporciones de longitud; el contenido ampliado también utiliza proporciones de área y volumen.
Similar shapes have scale factor 2.5 from small to large. Find the small side corresponding to 20 cm. · Figuras similares tienen factor de escala 2.5 de pequeño a grande. Encontrar el lado pequeño correspondiente a 20 cm.
Reverse the enlargement: 20 / 2.5 = 8 cm. · Invertir el aumento: 20 / 2.5 = 8 cm.
You've got it
- similar = same angles, sides $\times$ scale factor $k$
- area scales by $k^2$, volume scales by $k^3$
- lengths $2:3 \Rightarrow$ areas $4:9 \Rightarrow$ volumes $8:27$
Lo has entendido
- similar = mismos ángulos, lados $\times$ factor de escala $k$
- el área se multiplica por $k^2$, el volumen se multiplica por $k^3$
- longitudes $2:3 \Rightarrow$ áreas $4:9 \Rightarrow$ volúmenes $8:27$