Parallel and perpendicular lines · Líneas paralelas y perpendiculares
| English | Español |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | recíproco negativo |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | mediatriz |
Railway tracks and city grids
- Railway tracks run parallel 平行 — the same gradient, never meeting, stretching to the horizon.
- Streets in a planned city like New York or Barcelona cross at right angles, forming a grid.
- Both ideas — parallel and perpendicular 垂直 — come down to one thing: the gradient.
Vías férreas y cuadrículas urbanas
- Los rieles del tren son paralelos — tienen la misma pendiente, nunca se cruzan y se extienden hasta el horizonte.
- Las calles de una ciudad planificada como Nueva York o Barcelona se cruzan en ángulos rectos, formando una cuadrícula.
- Ambas ideas — paralelismo y perpendicularidad — se reducen a un solo concepto: la pendiente.
Parallel lines
- Parallel lines never meet, no matter how far you extend them.
- Distinct nonvertical lines are parallel when they have the same gradient. Vertical lines are parallel too, but have no defined gradient.
- $y = 4x - 1$ and $y = 4x + 7$ are parallel (both have $m = 4$).
Find a parallel line. The line parallel to $y = 4x - 1$ through $(1, -3)$: same gradient $4$, so $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. The equation is $y = 4x - 7$.
Parallel lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to $-1$
Líneas paralelas
- Las líneas paralelas nunca se encuentran, sin importar cuánto las extiendas.
- Las líneas distintas no verticales son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Las líneas verticales también son paralelas, pero no tienen una pendiente definida.
- $y = 4x - 1$ y $y = 4x + 7$ son paralelas (ambas tienen $m = 4$).
Encuentra una línea paralela. La línea paralela a $y = 4x - 1$ que pasa por $(1, -3)$: misma pendiente $4$, por lo tanto $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. La ecuación es $y = 4x - 7$.
Líneas paralelas comparten una pendiente; las pendientes perpendiculares multiplicadas dan $-1$
Parallel & perpendicular · Paralelas & perpendiculares
y = ax + b
Parallel · Paralelo lines share a gradient; perpendicular gradients multiply to −1. · Paralelas comparten una pendiente; las pendientes perpendiculares multiplicadas dan −1.
A line is parallel to y = 4x − 1 and passes through (1, −3). In y = 4x + c, what is c? · Una línea es paralela a y = 4x − 1 y pasa por (1, −3). En y = 4x + c, ¿cuál es c?
Parallel → same gradient 4. −3 = 4(1) + c, so c = −7. · Paralelo → misma pendiente 4. −3 = 4(1) + c, entonces c = −7.
Which line is parallel to y = −2x + 5? · ¿Qué línea es paralela a y = −2x + 5?
Parallel lines have the same gradient. y = −2x − 3 has gradient −2, the same as y = −2x + 5. · Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. y = −2x − 3 tiene pendiente −2, la misma que y = −2x + 5.
Perpendicular lines (Extended)
- Two lines are perpendicular if they meet at a right angle ($90°$).
- Their gradients multiply to $-1$:
- In words: flip the fraction and change the sign (the negative reciprocal 负倒数).
- Gradient $\dfrac{3}{2}$ → perpendicular gradient $-\dfrac{2}{3}$.
Parallel (cyan): same gradient. Perpendicular (rose + violet): gradients multiply to $-1$.
Líneas perpendiculares (Ampliado)
- Dos líneas son perpendiculares si se encuentran en un ángulo recto ($90°$).
- Sus pendientes multiplicadas dan $-1$:
- En palabras: invertir la fracción y cambiar el signo (el recíproco negativo).
- Pendiente $\dfrac{3}{2}$ → pendiente perpendicular $-\dfrac{2}{3}$.
Paralelas (cian): misma pendiente. Perpendiculares (rosa + violeta): las pendientes multiplicadas dan $-1$.
A line has gradient 3/2. The gradient of a line perpendicular to it is: · Una línea tiene pendiente 3/2. La pendiente de una línea perpendicular a ella es:
Flip and change sign: perpendicular gradient = −1 ÷ (3/2) = −2/3. · Invertir y cambiar el signo: pendiente perpendicular = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
Two perpendicular lines have gradients that multiply to −1. · Dos líneas perpendiculares tienen pendientes que multiplicadas dan −1.
m₁ × m₂ = −1 is the defining property of perpendicular gradients. · m₁ × m₂ = −1 es la propiedad definitoria de las pendientes perpendiculares.
If two lines are perpendicular, then m₁ × m₂ = ______. · Si dos líneas son perpendiculares, entonces m₁ × m₂ = ______.
The product of perpendicular gradients is always −1. · El producto de las pendientes perpendiculares siempre es −1.
Worked example — perpendicular line
- Find the line perpendicular to $y = 2x + 3$ through $(4, 1)$.
- Original gradient $m_1 = 2$, so perpendicular gradient $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Substitute: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- The perpendicular line is $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Don't forget both steps. The perpendicular gradient is flip AND change sign. Gradient $3$ → perpendicular $-\dfrac{1}{3}$ (not $\dfrac{1}{3}$, which would just be the reciprocal).
Ejemplo resuelto — línea perpendicular
- Encuentra la línea perpendicular a $y = 2x + 3$ que pasa por $(4, 1)$.
- Pendiente original $m_1 = 2$, por lo tanto pendiente perpendicular $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Sustituye: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- La línea perpendicular es $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
No olvides ambos pasos. La pendiente perpendicular es invertir Y cambiar el signo. Pendiente $3$ → perpendicular $-\dfrac{1}{3}$ (no $\dfrac{1}{3}$, que sería simplemente el recíproco).
A line has gradient 5. What is the gradient of a line perpendicular to it? · Una línea tiene pendiente 5. ¿Cuál es la pendiente de una línea perpendicular a ella?
Perpendicular gradient = −1/5 = −0.2. · Pendiente perpendicular = −1/5 = −0.2.
Perpendicular bisector 垂直平分线 (Extended)
- The perpendicular bisector of a segment cuts it in half at a right angle.
- Method (three steps):
- 1. Find the midpoint of the segment.
- 2. Find the perpendicular gradient ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Use the perpendicular gradient and the midpoint to write the equation.
Bisectriz perpendicular (ampliado)
- La mediatriz de un segmento la divide por la mitad en un ángulo recto.
- Método (tres pasos):
- 1. Encuentra el punto medio del segmento.
- 2. Encuentra la pendiente perpendicular ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Usa la pendiente perpendicular y el punto medio para escribir la ecuación.
Match each gradient pair (m₁, m₂) to the relationship between the lines. · Empareja cada par de pendientes (m₁, m₂) con la relación entre las líneas.
2/3 × (−3/2) = −1 → perpendicular. 4 = 4 → parallel. 1 × (−1) = −1 → perpendicular. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 and 5 ≠ −5 → neither. · 2/3 × (−3/2) = −1 → perpendicular. 4 = 4 → paralelo. 1 × (−1) = −1 → perpendicular. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 y 5 ≠ −5 → ninguna.
Put the steps for finding the perpendicular bisector of (0, 0) and (6, 2) in order. · Ordena los pasos para encontrar la mediatriz de (0, 0) y (6, 2).
First find the midpoint, then the segment gradient, then flip-and-sign for the perpendicular gradient, then substitute into y = mx + c. · Primero encuentra el punto medio, luego la pendiente del segmento, luego invierte y cambia el signo para la pendiente perpendicular, finalmente sustituye en y = mx + c.
City planners and gradient rules
- Manhattan's grid was planned in 1811 with avenues running north-south and streets east-west — all perpendicular.
- In contrast, old European cities have streets that meet at every angle — no gradient rule at all.
- Engineers use perpendicular gradients to design road junctions, railway crossings, and building foundations.
Urbanistas y reglas de pendiente
- La cuadrícula de Manhattan fue planificada en 1811 con avenidas de norte a sur y calles de este a oeste — todas perpendiculares.
- En contraste, las ciudades europeas antiguas tienen calles que se encuentran en todos los ángulos — sin ninguna regla de pendiente.
- Los ingenieros usan pendientes perpendiculares para diseñar intersecciones viales, cruces de ferrocarril y cimientos de edificios.
You've got it
- parallel → same gradient ($m_1 = m_2$)
- perpendicular → gradients multiply to $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "flip and change sign")
- perpendicular bisector = perpendicular gradient through the midpoint
- parallel to $y = 4x - 1$ through $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$
Lo has entendido
- paralelo → misma pendiente ($m_1 = m_2$)
- perpendicular → las pendientes se multiplican para dar $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "invertir y cambiar el signo")
- bisectriz perpendicular = pendiente perpendicular que pasa por el punto medio
- paralelo a $y = 4x - 1$ que pasa por $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$