Length and midpoint · Longitud y punto medio
| English | Español |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | segmento de recta |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | hipotenusa |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | Pitágoras |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | punto medio |
How far, really?
- Your phone says the café is 1.2 km away — but that's the straight-line distance, not the zigzag walk along streets.
- In coordinate geometry we often need the exact straight-line distance between two points.
- The tool? A 2500-year-old theorem.
¿Qué tan lejos, en realidad?
- Tu teléfono dice que la cafetera está a 1.2 km de distancia — pero esa es la distancia en línea recta, no el camino en zigzag por las calles.
- En geometría de coordenadas, a menudo necesitamos la distancia exacta en línea recta entre dos puntos.
- ¿La herramienta? Un teorema de hace 2500 años.
Length and midpoint lab · Laboratorio de longitud y punto medio
midpoint is halfway between endpoints · el punto medio está a la mitad entre los extremos
Move along a line segment and see midpoint as halfway. · Moverse a lo largo de un segmento de recta y ver el punto medio como la mitad.
Length of a segment (Extended)
- A line segment 线段 is the straight piece between two points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$.
- Draw a right triangle with the segment as the hypotenuse 斜边:
- The horizontal gap is $x_2 - x_1$ and the vertical gap is $y_2 - y_1$.
- By Pythagoras 勾股定理, the length is:
The gap across (3) and the gap up (4) give the length by Pythagoras; the midpoint 中点 is the average of the coordinates
Longitud de un segmento (Ampliado)
- Un segmento de línea 线段 es la parte recta entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$.
- Dibuja un triángulo rectángulo con el segmento como hipotenusa 斜边:
- La brecha horizontal es $x_2 - x_1$ y la brecha vertical es $y_2 - y_1$.
- Por el Teorema de Pitágoras 勾股定理, la longitud es:
La diferencia horizontal entre (3) y la diferencia vertical entre (4) permiten calcular la longitud mediante el teorema de Pitágoras; el punto medio 中点 es el promedio de las coordenadas
Worked example — length
- Find the length from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
- Horizontal gap $= 4 - 1 = 3$; vertical gap $= 6 - 2 = 4$.
- Length $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- The classic 3-4-5 right triangle makes a clean answer.
Pythagoras finds the length (hypotenuse); averaging finds the midpoint (star).
From the origin. Length from $(0, 0)$ to $(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Same triangle, different starting point.
Ejemplo resuelto — longitud
- Encuentra la distancia desde $(1, 2)$ hasta $(4, 6)$.
- Diferencia horizontal $= 4 - 1 = 3$; diferencia vertical $= 6 - 2 = 4$.
- Longitud $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- El clásico triángulo rectángulo 3-4-5 proporciona una respuesta exacta.
Pitágoras encuentra la longitud (hipotenusa); el promedio encuentra el punto medio (estrella).
Desde el origen. Longitud desde $(0, 0)$ hasta $(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Mismo triángulo, diferente punto de inicio.
Find the length of the segment from (1, 2) to (4, 6). · Encuentra la longitud del segmento desde (1, 2) hasta (4, 6).
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Find the length of the segment from (0, 0) to (3, 4). · Encuentra la longitud del segmento desde (0, 0) hasta (3, 4).
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. The classic 3-4-5 triangle. · √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. El clásico triángulo 3-4-5.
Find the length of the segment from (1, 5) to (7, 5). · Encuentra la longitud del segmento desde (1, 5) hasta (7, 5).
Both points have y = 5 (horizontal segment). Length = 7 − 1 = 6. · Ambos puntos tienen y = 5 (segmento horizontal). Longitud = 7 − 1 = 6.
Midpoint of a segment (Extended)
- The midpoint is the point exactly halfway between the two endpoints.
- Find it by averaging each coordinate:
- It's the "halfway" $x$ paired with the "halfway" $y$.
Punto medio de un segmento (Extendido)
- El punto medio es el punto exactamente a mitad de camino entre los dos extremos.
- Encuéntrelo promediando cada coordenada:
- Es el "punto medio" de las coordenadas $x$ junto con el "punto medio" de las coordenadas $y$.
Worked example — midpoint
- Find the midpoint from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
- Mid-$x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- Mid-$y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- Midpoint $= (2.5,\, 4)$ — exactly halfway along.
Average, don't add. The midpoint of $(1, 2)$ and $(4, 6)$ is $(2.5, 4)$, not $(5, 8)$. You must divide by 2 — averaging, not summing.
Ejemplo resuelto — punto medio
- Encuentra el punto medio desde $(1, 2)$ hasta $(4, 6)$.
- Punto medio en $x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- Punto medio en $y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- Punto medio $= (2.5,\, 4)$ — exactamente a la mitad del camino.
Promedio, no suma. El punto medio entre $(1, 2)$ y $(4, 6)$ es $(2.5, 4)$, no $(5, 8)$. Debes dividir por 2 — promediar, no sumar.
The midpoint of (1, 2) and (4, 6) is (a, 4). What is a? · El punto medio de (1, 2) y (4, 6) es (a, 4). ¿Cuál es a?
Average the x-values: (1 + 4)/2 = 2.5. · Promedia los valores x: (1 + 4)/2 = 2.5.
The midpoint of (2, 3) and (8, 9) is (5, b). What is b? · El punto medio de (2, 3) y (8, 9) es (5, b). ¿Cuál es b?
Average the y-values: (3 + 9)/2 = 6. · Promedia los valores y: (3 + 9)/2 = 6.
The x-coordinate of the midpoint of (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is: · La coordenada x del punto medio de (x₁, y₁) y (x₂, y₂) es:
The midpoint is the average of each coordinate: (x₁ + x₂)/2. Choice 2 forgets to divide; choice 3 gives half the gap, not the position. · El punto medio es el promedio de cada coordenada: (x₁ + x₂)/2. La opción 2 olvida dividir; la opción 3 da la mitad de la diferencia, no la posición.
Complete: the midpoint x-coordinate = (x₁ + ______) / 2. · Completa: la coordenada x del punto medio = (x₁ + ______) / 2.
The midpoint x-coordinate is the average of the two x-values: (x₁ + x₂)/2. · La coordenada x del punto medio es el promedio de los dos valores x: (x₁ + x₂)/2.
The 3-4-5 triangle family
- The triangle with sides $3, 4, 5$ is the smallest right triangle with whole-number sides.
- Multiples work too: $6, 8, 10$ and $9, 12, 15$ are also right triangles.
- You'll see this family a lot in exam questions — recognise it and save time.
La familia del triángulo 3-4-5
- El triángulo con lados $3, 4, 5$ es el triángulo rectángulo más pequeño con lados de números enteros.
- Los múltiplos también funcionan: $6, 8, 10$ y $9, 12, 15$ también son triángulos rectángulos.
- Encontrarás esta familia en muchas preguntas de los exámenes — reconócela y ahorra tiempo.
For a horizontal segment (both y-values the same), the length is simply the difference of the x-values. · Para un segmento horizontal (ambos valores y son iguales), la longitud es simplemente la diferencia de los valores x.
When y₁ = y₂, the formula simplifies to √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|. · Cuando y₁ = y₂, la fórmula se simplifica a √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|.
Match each segment to its length. · Une cada segmento con su longitud.
(0,0)–(5,0) is horizontal, length 5. (1,1)–(1,4) is vertical, length 3. (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5. · (0,0)–(5,0) es horizontal, longitud 5. (1,1)–(1,4) es vertical, longitud 3. (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5.
You've got it
- length $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (Pythagoras on the horizontal and vertical gaps)
- midpoint $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (average each coordinate)
- $(1,2)$ to $(4,6)$: length $5$, midpoint $(2.5,\, 4)$
- the 3-4-5 right triangle appears often — spot it early
Lo has entendido
- length $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (Pitágoras sobre las diferencias horizontal y vertical)
- midpoint $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (promedia cada coordenada)
- de $(1,2)$ a $(4,6)$: length $5$, midpoint $(2.5,\, 4)$
- el triángulo rectángulo 3-4-5 aparece con frecuencia — identifícalo pronto