Graphs of functions and sketching curves · Gráficas de funciones y trazado de curvas
| English | Español |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | función |
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
| roots/ruːts/ | raíces |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | intersección |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | asíntotas |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | punto de retorno |
The shape of a function 函数
- Every function has a signature shape, like a fingerprint. A linear function is a straight line; a quadratic is a parabola 抛物线; a reciprocal 倒数 has two branches that never touch the axes.
- Recognising the shape lets you sketch a graph in seconds — without plotting dozens of points.
La forma de una función
- Toda función tiene una forma distintiva, como una huella dactilar. Una función lineal es una línea recta; una cuadrática es una parábola; una recíproca tiene dos ramas que nunca tocan los ejes.
- Reconocer la forma te permite bosquejar una gráfica en segundos —sin trazar decenas de puntos.
Plotting and reading graphs
- Make a table of values: pick $x$-values, calculate $y$-values, plot the coordinates, join with a smooth curve.
- Roots 根 are where the graph crosses the $x$-axis (the solutions of $y = 0$).
- The intersection 交集 of two graphs solves the two equations simultaneously.
A suspension bridge cable hangs in a parabola, a quadratic curve
Graficar y leer gráficas
- Haz una tabla de valores: elige valores de $x$, calcula valores de $y$, traza las coordenadas y únelos con una curva suave.
- Las raíces son donde la gráfica cruza el eje $x$ (las soluciones de $y = 0$).
- La intersección de dos gráficas resuelve las dos ecuaciones simultáneamente.
El cable de un puente colgante cuelga en forma de parábola, una curva cuadrática
Sketching curves · Esbozar curvas
y = ax³ + bx² + cx + d
Sketch a curve from its turning points and where it crosses the axes. · Trazar una curva a partir de sus puntos de giro y donde corta los ejes.
The roots of a graph are where it: · Las raíces de una gráfica son donde esta:
Roots are the x-values where y = 0 — where the curve meets the x-axis. · Las raíces son los valores de x donde y = 0, es decir, donde la curva se encuentra con el eje x.
Three families of curves
Three families every mathematician should recognise: line, parabola, reciprocal.
| Function | Shape | Key features |
|---|---|---|
| $y = mx + c$ | straight line | gradient $m$, intercept $c$ |
| $y = ax^2 + bx + c$ | parabola | U if $a > 0$, ∩ if $a < 0$ |
| $y = \dfrac{a}{x}$ | reciprocal | two branches, asymptotes 渐近线 at axes |
Parabola direction. $y = x^2 - 4$ opens upward (U-shape) because the coefficient of $x^2$ is positive. $y = -x^2 + 4$ opens downward (∩-shape).
Tres familias de curvas
Tres familias que todo matemático debería reconocer: línea recta, parábola, recíproca.
| Función | Forma | Características clave |
|---|---|---|
| $y = mx + c$ | línea recta | pendiente $m$, intercepción $c$ |
| $y = ax^2 + bx + c$ | parábola | U si $a > 0$, ∩ si $a < 0$ |
| $y = \dfrac{a}{x}$ | recíproco | dos ramas, asíntotas en los ejes |
Dirección de la parábola. $y = x^2 - 4$ se abre hacia arriba (forma U) porque el coeficiente de $x^2$ es positivo. $y = -x^2 + 4$ se abre hacia abajo (forma ∩).
The graph of y = ax² + bx + c (with a > 0) is a: · La gráfica de y = ax² + bx + c (con a > 0) es una:
A positive a gives a U-shaped parabola; a negative a gives an ∩ shape. · Un valor positivo de a da una parábola en forma de U; un valor negativo de a da una forma ∩.
The graph of y = −x² + 4 opens upward. · La gráfica de y = −x² + 4 se abre hacia arriba.
The coefficient of x² is negative (−1), so the parabola opens downward (∩-shape). · El coeficiente de x² es negativo (−1), por lo que la parábola se abre hacia abajo (forma ∩).
The graph of y = a/x has two branches that never touch the axes. These lines are called ______. · La gráfica de y = a/x tiene dos ramas que nunca tocan los ejes. Estas líneas se llaman ______.
Asymptotes are lines the curve approaches but never touches. For y = a/x, the axes are asymptotes. · Las asíntotas son líneas que la curva se acerca pero nunca toca. Para y = a/x, los ejes son asíntotas.
Turning points 转折点 (Extended)
- A parabola has one turning point (vertex) — its minimum or maximum.
- Completing the square reveals it directly:
- $y = (x + p)^2 + q$ has its turning point at $(-p,\; q)$.
- Example: $y = (x + 3)^2 - 8$ → turning point $(-3, -8)$.
Signs flip. In $(x + 3)^2 - 8$, the turning point is $(-3, -8)$ — the $x$-coordinate has the opposite sign to what's inside the bracket.
Completing the square, $y=(x+3)^2-8$, shows the turning point $(-3,-8)$ and the line of symmetry $x=-3$
The five basic graph shapes; knowing each shape lets you sketch quickly from the equation
Puntos de inflexión (Expandido)
- Una parábola tiene un único punto de giro (vértice): su mínimo o máximo.
- Completar el cuadrado lo revela directamente:
- $y = (x + p)^2 + q$ tiene su punto de giro en $(-p,\; q)$.
- Ejemplo: $y = (x + 3)^2 - 8$ → punto de giro $(-3, -8)$.
Inversión de signos. En $(x + 3)^2 - 8$, el punto de giro es $(-3, -8)$ —la coordenada $x$ tiene el signo opuesto al que está dentro del paréntesis.
Completar el cuadrado, $y=(x+3)^2-8$, muestra el punto de giro $(-3,-8)$ y la línea de simetría $x=-3$
Las cinco formas básicas de las gráficas; conocer cada forma te permite bosquejar rápidamente a partir de la ecuación
The curve y = (x + 3)² − 8 has its turning point at (−3, q). What is q? · La curva y = (x + 3)² − 8 tiene su punto de giro en (−3, q). ¿Cuál es q?
Completed-square form (x+p)² + q has turning point (−p, q), so q = −8. · La forma completada al cuadrado (x+p)² + q tiene un punto de giro en (−p, q), por lo tanto q = −8.
Using graphs to solve equations
- Where a line and a curve intersect, both equations are satisfied.
- Solving $x^2 - 4 = 2x + 1$ graphically: plot $y = x^2 - 4$ and $y = 2x + 1$, read off the intersection $x$-values.
Usar gráficas para resolver ecuaciones
- Donde una recta y una curva se intersectan, ambas ecuaciones se cumplen.
- Resolver $x^2 - 4 = 2x + 1$ gráficamente: graficar $y = x^2 - 4$ y $y = 2x + 1$, leer los valores de intersección en el $x$-eje.
The line y = x + 2 intersects the curve y = x² at two points. One has x = 2. What is the other x-value? · La línea y = x + 2 intersecta la curva y = x² en dos puntos. Uno tiene x = 2. ¿Cuál es el otro valor de x?
x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0 → x = 2 or x = −1. · x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0 → x = 2 o x = −1.
Solve a graph question completely
- For $y=x^2-2$, calculate $y=2,-1,-2,-1,2$ at $x=-2,-1,0,1,2$ and plot a smooth symmetric curve. Draw $y=2$ with a ruler; crossings give solutions $x=-2,2$ to $x^2-2=2$.
- For $y=6/x$, use positive and negative inputs, but never $x=0$. Points $(2,3),(3,2),(-2,-3),(-3,-2)$ lie on separate branches. Core quadratic sketches require roots and symmetry, not turning-point coordinates.
Resuelva completamente una pregunta de gráfica
- Para $y=x^2-2$, calcule $y=2,-1,-2,-1,2$ en $x=-2,-1,0,1,2$ y grafique una curva suave simétrica. Dibuje $y=2$ con una regla; los cruces dan las soluciones $x=-2,2$ a $x^2-2=2$.
- Para $y=6/x$, use entradas positivas y negativas, pero nunca $x=0$. Los puntos $(2,3),(3,2),(-2,-3),(-3,-2)$ se encuentran en ramas separadas. Los bocetos cúbicos básicos requieren raíces y simetría, no coordenadas del punto de giro.
What is the positive solution read where y = x² − 2 meets y = 2? · ¿Cuál es la solución positiva en donde y = x² − 2 intersecta a y = 2?
The crossing on the right is (2,2), so x = 2. · La intersección a la derecha es (2,2), por lo tanto x = 2.
Extended cubic and exponential graphs
- For $y=x^3-1$, the integer table at $x=-2,-1,0,1,2$ is $-9,-2,-1,0,7$. Draw a smooth increasing S-shape; the root is 1 and the $y$-intercept is $-1$.
- For $y=2^x+1$, the table at $x=-1,0,1,2,3$ is $1.5,2,3,5,9$. The curve approaches horizontal asymptote $y=1$ to the left and rises to the right; it does not touch the asymptote.
Gráficos cúbicos extendidos y exponenciales
- Para $y=x^3-1$, la tabla de enteros en $x=-2,-1,0,1,2$ es $-9,-2,-1,0,7$. Dibuje una forma de S suave creciente; la raíz es 1 y la intersección con el eje $y$ es $-1$.
- Para $y=2^x+1$, la tabla en $x=-1,0,1,2,3$ es $1.5,2,3,5,9$. La curva se acerca a la asíntota horizontal $y=1$ por la izquierda y asciende hacia la derecha; no toca la asíntota.
For y = 2ˣ + 1, find y at x = 3. · Para y = 2ˣ + 1, encontrar y cuando x = 3.
2³ + 1 = 9.
Shifted reciprocals and fractional powers (Extended)
- $y=2/x+3$ has vertical asymptote $x=0$ and horizontal asymptote $y=3$. Shift both branches of $2/x$ up 3; do not join them across zero.
- For $y=\sqrt{x}$ use $x\ge0$ and points $(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)$. For $y=1/\sqrt{x}$ use $x>0$ and points $(1,1),(4,1/2),(9,1/3)$. For $y=1/x^2$, positive and negative inputs give positive outputs, with symmetry about the $y$-axis.
Recíprocos desplazados y potencias fraccionarias (Extendido)
- $y=2/x+3$ tiene una asíntota vertical $x=0$ y una asíntota horizontal $y=3$. Desplace ambas ramas de $2/x$ hacia arriba 3; no las una cruzando cero.
- Para $y=\sqrt{x}$ use $x\ge0$ y los puntos $(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)$. Para $y=1/\sqrt{x}$ use $x>0$ y los puntos $(1,1),(4,1/2),(9,1/3)$. Para $y=1/x^2$, las entradas positivas y negativas producen salidas positivas, con simetría respecto al eje $y$.
For y = 2/x + 3, give the value of y at the horizontal asymptote. · Para y = 2/x + 3, dar el valor de y en la asíntota horizontal.
The 2/x term tends to 0 as |x| grows, so the horizontal asymptote is y = 3. · El término 2/x tiende a 0 cuando |x| crece, por lo que la asíntota horizontal es y = 3.
You've got it
- roots $=$ where the curve crosses the $x$-axis; intersection solves two equations
- a quadratic is a parabola (U if $a > 0$, ∩ if $a < 0$)
- the turning point of $(x+p)^2 + q$ is $(-p,\; q)$
- reciprocal curves have asymptotes they never touch
Lo has entendido
- raíces $=$ donde la curva cruza el eje $x$; intersección resuelve dos ecuaciones
- una cuadrática es una parábola (U si $a > 0$, ∩ si $a < 0$)
- el punto de giro de $(x+p)^2 + q$ es $(-p,\; q)$
- las curvas recíprocas tienen asíntotas que nunca tocan