Algebraic fractions · Fracciones algebraicas
| English | Español |
|---|---|
| algebraic fractions/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃnz/ | fracciones algebraicas |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | factorizar |
| cancel/ˈkænsl/ | se cancelan |
| common denominator/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador común |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
When fractions have letters
- A baker halves a recipe, then thirds it again — that's $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ of the original.
- Algebraic fractions 代数分式 work exactly the same way, but the numbers are replaced by expressions. The rules don't change.
Cuando las fracciones tienen letras
- Un panadero reduce a la mitad una receta y luego la divide en tres — eso representa $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ de la original.
- Las fracciones algebraicas funcionan exactamente igual, pero los números son reemplazados por expresiones. Las reglas no cambian.
Algebraic fraction route · Ruta de fracciones algebraicas
Simplify algebraic fractions by factorising before cancelling. · Simplificar fracciones algebraicas factorizando antes de cancelar.
Simplifying algebraic fractions
- Factorise 因式分解 the numerator and denominator, then cancel 约分 any common factors.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Factorise first, then cancel. You cannot cancel individual terms: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. The $+2$ and $+3$ are not factors — they are terms inside a sum.
Expanding a bracket with an area model
Simplificación de fracciones algebraicas
- Factoriza el numerador y el denominador, luego simplifica cualquier factor común.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Factorice primero, luego cancele. No se pueden cancelar términos individuales: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. Los $+2$ y $+3$ no son factores — son términos dentro de una suma.
Expandir un paréntesis con un modelo de área
Simplify (x² − 2x)/(x² − 5x + 6). · Simplifica (x² − 2x)/(x² − 5x + 6).
Factorise: x(x−2) / [(x−2)(x−3)], cancel (x−2) → x/(x−3). · Factoriza: x(x−2) / [(x−2)(x−3)], cancela (x−2) → x/(x−3).
(x + 2)/(x + 3) simplifies to 2/3. · (x + 2)/(x + 3) se simplifica a 2/3.
You can only cancel common FACTORS, not terms in a sum. x+2 and x+3 share no common factor. · Solo puedes cancelar FACTORES comunes, no términos en una suma. x+2 y x+3 no comparten factor común.
Adding and subtracting
- Find a common denominator 公分母, just as with ordinary fractions.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Expand carefully. $3(x-4) = 3x - 12$ (not $3x - 4$). Every term inside the bracket must be multiplied.
Suma y resta
- Encuentra un denominador común, igual que con las fracciones ordinarias.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Expanda con cuidado. $3(x-4) = 3x - 12$ (no $3x - 4$). Cada término dentro del paréntesis debe ser multiplicado.
Add x/3 + (x−4)/2 over a common denominator of 6. · Suma x/3 + (x−4)/2 con un denominador común de 6.
2x/6 + 3(x−4)/6 = (2x + 3x − 12)/6 = (5x − 12)/6.
To add algebraic fractions, you must first find a common ______. · Para sumar fracciones algebraicas, primero debes encontrar un ______ común.
Just like with numeric fractions, you need a common denominator before adding or subtracting. · Igual que con fracciones numéricas, necesitas un denominador común antes de sumar o restar.
Multiplying and dividing
- Multiply: tops × tops, bottoms × bottoms — same as ordinary fractions.
- Divide: multiply by the reciprocal 倒数 of the second fraction.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
Multiplicación y división
- Multiplicar: arriba × arriba, abajo × abajo — igual que con fracciones ordinarias.
- Divide: multiplica por el recíproco de la segunda fracción.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
To divide algebraic fractions, multiply by the reciprocal of the second one. · Para dividir fracciones algebraicas, multiplica por el recíproco de la segunda.
Division by a fraction is multiplication by its reciprocal, just as with numbers. · La división por una fracción es multiplicación por su recíproco, igual que con números.
Worked example
- Simplify $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Factorise: numerator $= (x+3)(x-3)$, denominator $= (x+2)(x+3)$.
- Cancel $(x+3)$: result $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Factorising is the key to both solving quadratics and simplifying algebraic fractions.
Ejemplo resuelto
- Simplifique $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Factorice: numerador $= (x+3)(x-3)$, denominador $= (x+2)(x+3)$.
- Cancele $(x+3)$: resultado $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Factorizar es la clave tanto para resolver cuadráticas como para simplificar fracciones algebraicas.
Simplify (x² − 9)/(x² + 5x + 6). · Simplifica (x² − 9)/(x² + 5x + 6).
(x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)], cancel (x+3) → (x−3)/(x+2). · (x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)], cancela (x+3) → (x−3)/(x+2).
Keep the excluded values
- Cancelling a factor does not restore a forbidden input. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, but the original still excludes $x=2$ and $x=3$.
- For $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, exclude $x=2,0$ because of denominators, and $x=-3$ because the divisor is zero. Write these restrictions before cancelling.
Mantén los valores excluidos
- Cancelar un factor no restaura una entrada prohibida. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, pero la original aún excluye $x=2$ y $x=3$.
- Para $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, excluye $x=2,0$ debido a los denominadores, y $x=-3$ porque el divisor es cero. Escribe estas restricciones antes de cancelar.
For (x² − 9)/(x² + 5x + 6), which excluded input besides −2 must remain after cancelling? · Para (x² − 9)/(x² + 5x + 6), ¿qué entrada excluida además de −2 debe permanecer después de simplificar?
The original denominator is (x+2)(x+3), so x = −3 stays excluded. · El denominador original es (x+2)(x+3), así que x = −3 permanece excluido.
You've got it
- simplify: factorise top and bottom, cancel common brackets
- add/subtract: find a common denominator, combine numerators
- multiply/divide: as with ordinary fractions (divide = × the reciprocal)
- never cancel terms inside a sum — only cancel factors
Lo has entendido
- simplificar: factorice arriba y abajo, cancele corchetes comunes
- sumar/restar: encuentre un denominador común, combine numeradores
- multiplicar/dividir: igual que con fracciones ordinarias (dividir = × el recíproco)
- nunca cancele términos dentro de una suma — solo cancele factores