Exponential growth and decay · Crecimiento y decaimiento exponencial
| English | Español |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | crecimiento exponencial |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | compuesto |
| decay/dɪˈkeɪ/ | desintegración |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | depreciación |
| half-life/hɑːf laɪf/ | vida media |
One bacterium becomes a billion
- A bacterium divides every 20 minutes. After 10 hours (30 divisions), one cell becomes $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — over a billion.
- That's exponential growth 指数增长: the same percentage increase every period, compounding 复利.
- Linear growth adds a fixed amount; exponential growth multiplies — and it always wins in the end.
Una bacteria se convierte en un billón
- Una bacteria se divide cada 20 minutos. Después de 10 horas (30 divisiones), una célula se convierte en $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — más de un billón.
- Esto es crecimiento exponencial 指数增长: el mismo porcentaje de aumento en cada periodo, capitalizado 复利.
- El crecimiento lineal suma una cantidad fija; el crecimiento exponencial multiplica, y siempre gana a la larga.
The compound formula
- When a quantity changes by the same percentage each period:
- $P$ = starting value, $r$ = percentage rate per period, $t$ = number of periods.
- Growth: $r > 0$; decay 衰减: $r < 0$ (or use a multiplier below 1).
Exponential growth (curve) starts slowly but eventually pulls far ahead of linear growth (straight line).
La fórmula del compuesto
- Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje cada periodo:
- $P$ = valor inicial, $r$ = tasa porcentual por periodo, $t$ = número de periodos.
- Crecimiento: $r > 0$; decaimiento 衰减: $r < 0$ (o usar un multiplicador menor que 1).
El crecimiento exponencial (curva) comienza lentamente pero eventualmente se separa ampliamente del crecimiento lineal (línea recta).
Compound interest · Interés compuesto
Money grows by (1 + r) every year, so compound interest curves above simple interest. Drag the rate and the number of years. · El dinero crece por un factor de (1 + r) cada año, por lo que las curvas de interés compuesto se sitúan por encima del interés simple. Arrastra la tasa y el número de años.
Exponential growth & decay · Crecimiento y decaimiento exponencial
y = a·bˣ
Change the base b: b > 1 grows, 0 < b < 1 decays · decae — useful for interest and populations. · Cambia la base b: si b > 1 hay crecimiento, si 0 < b < 1 hay decaimiento — útil para intereses y poblaciones.
A car loses 15% of its value each year. What yearly multiplier do you use? · Un coche pierde el 15% de su valor cada año. ¿Cuál es el multiplicador anual que debes usar?
Losing 15% leaves 85%, so the multiplier is 0.85. · Perder el 15% deja el 85%, así que el multiplicador es 0.85.
Depreciation of a car's value each year is an example of: · La depreciación del valor de un coche cada año es un ejemplo de:
Losing a fixed percentage each year is exponential decay (multiplier < 1, applied repeatedly). · Perder un porcentaje fijo cada año es decaimiento exponencial (multiplicador < 1, aplicado repetidamente).
The compound growth formula is: final = P × (1 + ______)^t, where r is the percentage rate. · La fórmula de crecimiento compuesto es: final = P × (1 + ______)^t, donde r es la tasa porcentual.
The rate r% must be converted to a decimal: r/100. So the multiplier is (1 + r/100). · La tasa r% debe convertirse a decimal: r/100. Por lo tanto, el multiplicador es (1 + r/100).
Exponential decay and depreciation 折旧
- Decay works the same way with a multiplier below 1.
- A car worth 20 000 loses 15% each year → multiplier $0.85$.
- After 4 years: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Half-life 半衰期. A radioactive isotope decays 10% per year. Its "half-life" (time to halve) is $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ years — you can find it by solving $0.9^t = 0.5$.
Decaimiento exponencial y depreciación 折旧
- El decaimiento funciona de la misma manera con un multiplicador menor que 1.
- Un auto valorado en 20 000 pierde 15% cada año → multiplicador $0.85$.
- Después de 4 años: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Vida media 半衰期. Un isótopo radiactivo decae 10% al año. Su "vida media" (tiempo para reducirse a la mitad) es $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ años — se puede encontrar resolviendo $0.9^t = 0.5$.
A car worth 20000 depreciates 15% per year. Its value after 4 years (to the nearest 10) is: · Un coche con un valor de 20000 se deprecia en un 15% anual. Su valor después de 4 años (redondeado a la decena más cercana) es:
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
Worked example
- Population of 5000 grows 8% per year. After 6 years:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Compound ≠ simple. 8% per year for 6 years is not $8 \times 6 = 48\%$ total (that would give $5000 \times 1.48 = 7400$). Compounding gives $58.7\%$ total — almost 11% more, because each year's growth earns growth too.
Ejemplo resuelto
- Población de 5000 crece 8% al año. Después de 6 años:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Compuesto ≠ simple. 8% anual durante 6 años no es $8 \times 6 = 48\%$ total (eso daría $5000 \times 1.48 = 7400$). El interés compuesto da un aumento total del $58.7\%$ — casi un 11% más, porque el crecimiento de cada año genera su propio crecimiento.
A population of 5000 grows 8% per year. What is the population after 6 years (nearest whole number)? · Una población de 5000 crece un 8% anual. ¿Cuál es la población después de 6 años (número entero más cercano)?
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
8% growth per year for 6 years gives a total increase of exactly 48%. · Un crecimiento del 8% anual durante 6 años da un aumento total exacto del 48%.
Compounding gives 1.08⁶ ≈ 1.587, a 58.7% increase — more than 48% because growth earns growth. · El interés compuesto produce 1.08⁶ ≈ 1.587, un aumento del 58.7% — más que el 48% porque el crecimiento genera nuevo crecimiento.
Where exponential growth shows up
- Epidemics: early spread is often exponential (each infected person infects others).
- Investments: compound interest is exponential growth of your money.
- Technology: Moore's Law predicted computing power doubling every ~2 years for decades.
Dónde aparece el crecimiento exponencial
- Epidemias: la propagación temprana suele ser exponencial (cada persona infectada infecta a otras).
- Inversiones: el interés compuesto es el crecimiento exponencial de tu dinero.
- Tecnología: la Ley de Moore predijo que la potencia computacional se duplicaría cada ~2 años durante décadas.
You've got it
- exponential change uses the compound formula $P(1 + r/100)^t$
- growth = multiplier $> 1$; decay/depreciation = multiplier $< 1$
- a 15% yearly loss → multiplier $0.85$; after 4 years: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- exponential always beats linear eventually — compounding earns growth on growth
Lo has entendido
- El cambio exponencial usa la fórmula compuesta $P(1 + r/100)^t$
- Crecimiento = multiplicador $> 1$; decaimiento/depreciación = multiplicador $< 1$
- Una pérdida anual del 15% → multiplicador $0.85$; después de 4 años: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- El crecimiento exponencial siempre supera al lineal a largo plazo — el interés compuesto genera crecimiento sobre crecimiento