Secant, Cosecant, and Cotangent · Secante, Cosecante y Cotangente
| English | Español |
|---|---|
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
| secant/ˈsiːkənt/ | secante |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | cosecante |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | cotangente |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota vertical |
Three more from flipping
- Sine, cosine, and tangent have three partners built by flipping them over.
- Each new function is simply $1$ divided by one of the originals.
- They appear whenever a ratio is easier written "upside down".
- Their graphs inherit their asymptotes from wherever the originals hit zero.
Tres más por voltear
- Seno, coseno y tangente tienen tres compañeros construidos al voltearlos.
- Cada nueva función es simplemente $1$ dividido por uno de los originales.
- Aparecen siempre que una razón sea más fácil de escribir "al revés".
- Sus gráficas heredan sus asíntotas dondequiera que los originales toquen el cero.
The three reciprocals
- Secant 正割 is the reciprocal 倒数 of cosine: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
- Cosecant 余割 is the reciprocal of sine: $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$.
- Cotangent 余切 is the reciprocal of tangent: $\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
- A handy memory hook: "co-" and the base function never match up (secant pairs with cosine).
Los tres recíprocos
- Secante (正割) es el recíproco (倒数) del coseno: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
- Cosecante (余割) es el recíproco del seno: $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$.
- Cotangente (余切) es el recíproco de la tangente: $\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
- Un útil gancho mnemotécnico: el prefijo "co-" y la función base nunca coinciden (la secante se empareja con el coseno).
The cosine wave whose reciprocal is secant · La onda coseno cuyo recíproco es la secante
y = cos x
Secant is 1 divided by cosine. Wherever this cosine wave crosses zero, secant blows up to an asymptote. · La secante es 1 dividido por el coseno. Dondequiera que esta onda coseno cruce cero, la secante se dispara hacia una asíntota.
The · El secant function is defined as… · La función secante se define como…
Secant is the reciprocal · recíproco of cosine: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$. · Secante es el recíproco del coseno: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
Which pairing is correct? · ¿Cuál emparejamiento es correcto?
Cosecant is $1/\sin$ and · y cotangent is $1/\tan = \cos/\sin$ — the reciprocals of sine and tangent. · Cosecante es $1/\sin$ y cotangente es $1/\tan = \cos/\sin$ — los recíprocos del seno y la tangente.
Select all · todos correct reciprocal identities. · Seleccione todas las identidades recíprocas correctas.
Secant is $1/\cos$, not $\sin$. The other three are correct reciprocal definitions. · La secante es $1/\cos$, no $\sin$. Las otras tres son definiciones recíprocas correctas.
Where they blow up
- A reciprocal is undefined when the original is zero — you cannot divide by zero.
- So secant has a vertical asymptote 竖直渐近线 wherever $\cos x = 0$.
- Cosecant blows up wherever $\sin x = 0$; cotangent wherever $\sin x = 0$ too.
- Between the asymptotes, each curve swoops up toward $\pm\infty$.
Dónde explotan
- Un recíproco no está definido cuando el original es cero — no se puede dividir por cero.
- Por lo tanto, la secante tiene una asíntota vertical (竖直渐近线) dondequiera que $\cos x = 0$.
- La cosecante explota dondequiera que $\sin x = 0$; la cotangente también donde $\sin x = 0$.
- Entre las asíntotas, cada curva asciende hacia $\pm\infty$.
Secant has a vertical ____ wherever $\cos x = 0$, because you cannot divide by zero. · La secante tiene una ____ vertical dondequiera que $\cos x = 0$, porque no se puede dividir por cero.
Since $\sec x = 1/\cos x$, a zero cosine makes secant undefined — a vertical asymptote. · Dado que $\sec x = 1/\cos x$, un coseno igual a cero hace que la secante sea indefinida: una asíntota vertical.
Secant's output never lies strictly between $-1$ and · y $1$. · La salida de la secante nunca está estrictamente entre $-1$ y $1$.
Since $|\cos x| \le 1$, its reciprocal $|\sec x| \ge 1$ — secant is always at least $1$ in size. · Dado que $|\cos x| \le 1$, su recíproco $|\sec x| \ge 1$ — la secante siempre tiene un valor absoluto de al menos $1$.
Their shape
- Because $|\cos x| \le 1$, its reciprocal secant satisfies $|\sec x| \ge 1$.
- So secant never enters the strip between $-1$ and $1$ — it lives outside it.
- Each secant "U" sits above a cosine peak or below a cosine trough.
- Cosecant looks the same, shifted to match sine instead of cosine.
Su forma
- Debido a que $|\cos x| \le 1$, su recíproco la secante satisface $|\sec x| \ge 1$.
- Así, la secante nunca entra en la franja entre $-1$ y $1$ — vive fuera de ella.
- Cada "U" de la secante se sitúa sobre un pico del coseno o debajo de un valle del coseno.
- La cosecante se ve igual, desplazada para coincidir con el seno en lugar del coseno.
Why they are useful
- Some formulas are cleaner with secant or cotangent than with a fraction of sine and cosine.
- The Pythagorean identities come in secant and cosecant forms too.
- In calculus, the derivative of tangent is $\sec^2 x$ — the reciprocals show up naturally.
- Knowing all six trig functions lets you pick the simplest one for the job.
Por qué son útiles
- Algunas fórmulas son más limpias con secante o cotangente que con una fracción de seno y coseno.
- Las identidades pitagóricas también existen en formas de secante y cosecante.
- En cálculo, la derivada de la tangente es $\sec^2 x$ — los recíprocos aparecen naturalmente.
- Conocer las seis funciones trigonométricas te permite elegir la más simple para la tarea.
Do not confuse the reciprocal $\sec x = \tfrac{1}{\cos x}$ with the inverse $\cos^{-1} x = \arccos x$. Despite the similar names, one is "one over cosine" and the other is "the angle with this cosine" — completely different functions.
No confundas el recíproco $\sec x = \tfrac{1}{\cos x}$ con el inverso $\cos^{-1} x = \arccos x$. A pesar de los nombres similares, uno es "uno sobre coseno" y el otro es "el ángulo con este coseno" — son funciones completamente diferentes.
Evaluate $\sec\tfrac{\pi}{3}$ and explain why $\csc 0$ is undefined.
- $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12$, so $\sec\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{1/2} = 2$.
- $\csc 0 = \tfrac{1}{\sin 0} = \tfrac{1}{0}$, which is undefined.
- So $x = 0$ is a vertical asymptote of cosecant.
Evalúa $\sec\tfrac{\pi}{3}$ y explica por qué $\csc 0$ no está definido.
- $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12$, así que $\sec\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{1/2} = 2$.
- $\csc 0 = \tfrac{1}{\sin 0} = \tfrac{1}{0}$, lo cual no está definido.
- Por lo tanto, $x = 0$ es una asíntota vertical de la cosecante.
Secant, cosecant, and cotangent are the reciprocals of cosine, sine, and tangent. Each has a vertical asymptote wherever its base function is zero, and secant/cosecant outputs never fall strictly between $-1$ and $1$.
Secante, cosecante y cotangente son los recíprocos del coseno, seno y tangente. Cada una tiene una asíntota vertical dondequiera que su función base sea cero, y las salidas de secante y cosecante nunca caen estrictamente entre $-1$ y $1$.