Funciones Trigonométricas y Polares

Objetivo de Aprendizaje 3.1.A: Construir gráficos de relaciones periódicas a partir de representaciones verbales.

• 3.1.A.1 Una relación periódica puede identificarse entre dos aspectos de un contexto si, al aumentar los valores de entrada, los valores de salida muestran un patrón repetitivo en intervalos sucesivos de igual longitud.
• 3.1.A.2 El gráfico de una relación periódica puede construirse a partir del gráfico de un solo ciclo de la relación.

Objetivo de Aprendizaje 3.1.B: Describir las características clave de una función periódica basándose en una representación verbal.

• 3.1.B.1 El período de la función es el valor positivo más pequeño $k$ tal que $f(x + k) = f(x)$ para todo $x$ en el dominio. En consecuencia, el comportamiento de una función periódica queda completamente determinado por cualquier intervalo de anchura $k$.
• 3.1.B.2 El período puede estimarse investigando valores de salida sucesivos de igual longitud y determinando dónde comienza a repetirse el patrón.
• 3.1.B.3 Las funciones periódicas presentan características de otras funciones, tales como intervalos de aumento y disminución, distintas concavidades y diversos tasas de cambio. Sin embargo, con las funciones periódicas, todas las características encontradas en un período de la función estarán presentes en cada uno de sus períodos.

Objetivo de aprendizaje 3.2.A: Determinar el seno, el coseno y la tangente de un ángulo utilizando la circunferencia unitaria.

• 3.2.A.1 En el plano cartesiano, un ángulo está en posición estándar cuando su vértice coincide con el origen y uno de sus lados coincide con el semieje positivo $x$. El otro lado se denomina lado terminal. Las medidas angulares positivas y negativas indican rotaciones desde el semieje positivo $x$ en dirección antihoraria y horaria, respectivamente. Los ángulos en posición estándar que comparten un lado terminal difieren en un número entero de vueltas completas.
• 3.2.A.2 La medida en radianes de un ángulo en posición estándar es la razón entre la longitud del arco de un círculo centrado en el origen subtendido por el ángulo y el radio de ese mismo círculo. Para una circunferencia unitaria, que tiene radio $1$, la medida en radianes es igual a la longitud del arco subtendido.
• 3.2.A.3 Dado un ángulo en posición estándar y un círculo centrado en el origen, existe un punto, $P$, donde el lado terminal intersecta al círculo. El seno del ángulo es la razón entre el desplazamiento vertical de $P$ respecto al eje $x$ y la distancia entre el origen y el punto $P$. Por lo tanto, para una circunferencia unitaria, el seno del ángulo es la coordenada $y$ del punto $P$.
• 3.2.A.4 Dado un ángulo en posición estándar y un círculo centrado en el origen, existe un punto, $P$, donde el lado terminal intersecta al círculo. El coseno del ángulo es la razón entre el desplazamiento horizontal de $P$ respecto al eje $y$ y la distancia entre el origen y el punto $P$. Por lo tanto, para una circunferencia unitaria, el coseno del ángulo es la coordenada $x$ del punto $P$.
• 3.2.A.5 Dado un ángulo en posición estándar, la tangente del ángulo es la pendiente, si existe, del lado terminal. Dado que la pendiente del lado terminal es la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal sobre cualquier intervalo, la tangente del ángulo es la razón entre la coordenada $y$ y la coordenada $x$ del punto en el que el lado terminal intersecta la circunferencia unitaria; alternativamente, es la razón entre el seno del ángulo y su coseno.

Objetivo de Aprendizaje 3.3.A: Determinar las coordenadas de puntos en un círculo centrado en el origen.

• 3.3.A.1 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo con radio $r$ centrado en el origen, existe un punto $P$, donde el rayo terminal intersecta al círculo. Las coordenadas del punto $P$ son $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 La geometría de triángulos rectángulos isósceles y equiláteros, teniendo en cuenta los signos de los valores según el cuadrante del ángulo, puede utilizarse para encontrar valores exactos del coseno y del seno de ángulos que son múltiplos de $\dfrac{\pi}{4}$ y $\dfrac{\pi}{6}$ radianes, y cuyos rayos terminales no se encuentran sobre un eje.

Objetivo de aprendizaje 3.4.A: Construir representaciones de las funciones seno y coseno utilizando el círculo unitario.

• 3.4.A.1 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo unitario centrado en el origen, existe un punto $P$ donde la rayo terminal intersecta el círculo. La función seno, $f(\theta) = \sin\theta$, proporciona la coordenada $y$, o desplazamiento vertical desde el eje $x$, del punto $P$. El dominio de la función seno son todos los números reales.
• 3.4.A.2 A medida que aumentan los valores de entrada, o medidas angulares, de la función seno, los valores de salida oscilan entre $-1$ y $1$, tomando cada valor intermedio y rastreando la distancia vertical de los puntos en el círculo unitario respecto al eje $x$.
• 3.4.A.3 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo unitario centrado en el origen, existe un punto $P$ donde la rayo terminal intersecta el círculo. La función coseno, $f(\theta) = \cos\theta$, proporciona la coordenada $x$, o desplazamiento horizontal desde el eje $y$, del punto $P$. El dominio de la función coseno son todos los números reales.
• 3.4.A.4 A medida que aumentan los valores de entrada, o medidas angulares, de la función coseno, los valores de salida oscilan entre $-1$ y $1$, tomando cada valor intermedio y rastreando la distancia horizontal de los puntos en el círculo unitario respecto al eje $y$.

Objetivo de aprendizaje 3.5.A: Identificar las características clave de las funciones seno y coseno.

• 3.5.A.1 Una función sinusoidal es cualquier función que involucre transformaciones aditivas y multiplicativas de $f(\theta) = \sin\theta$. Las funciones seno y coseno son ambas funciones sinusoidales, con $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 El periodo y la frecuencia de una función sinusoidal son recíprocos. El periodo de $f(\theta) = \sin\theta$ y $g(\theta) = \cos\theta$ es $2\pi$, y la frecuencia es $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 La amplitud de una función sinusoidal es la mitad de la diferencia entre sus valores máximo y mínimo. La amplitud de $f(\theta) = \sin\theta$ y $g(\theta) = \cos\theta$ es $1$.
• 3.5.A.4 La línea media del gráfico de una función sinusoidal está determinada por el promedio, o media aritmética, de los valores máximo y mínimo de la función. La línea media de los gráficos de $y = \sin\theta$ y $y = \cos\theta$ es $y = 0$.
• 3.5.A.5 A medida que aumentan los valores de entrada, los gráficos de las funciones sinusoidales oscilan entre cóncavas hacia abajo y cóncavas hacia arriba.
• 3.5.A.6 El gráfico de $y = \sin\theta$ tiene simetría rotacional respecto al origen y, por lo tanto, es una función impar. El gráfico de $y = \cos\theta$ tiene simetría reflejada sobre el eje $y$ y, por lo tanto, es una función par.

Objetivo de aprendizaje 3.6.A: Identificar la amplitud, el desplazamiento vertical, el período y el desplazamiento de fase de una función sinusoidal.

• 3.6.A.1 Las funciones que se pueden escribir en la forma $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ o $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, donde $a, b, c,$ y $d$ son números reales y $a \neq 0$, son funciones sinusoidales y son transformaciones de las funciones seno y coseno. Las transformaciones aditivas y multiplicativas son iguales para el seno y el coseno porque la función coseno es un desplazamiento de fase de la función seno por $-\dfrac{\pi}{2}$ unidades.
• 3.6.A.2 La gráfica de la transformación aditiva $g(\theta) = \sin\theta + d$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una traslación vertical de la gráfica de $f$, incluida su línea media, por $d$ unidades. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.3 La gráfica de la transformación aditiva $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una traslación horizontal, o desplazamiento de fase, de la gráfica de $f$ por $-c$ unidades. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.4 La gráfica de la transformación multiplicativa $g(\theta) = a\sin\theta$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una dilatación vertical de la gráfica de $f$ y difiere en la amplitud por un factor de $|a|$. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.5 La gráfica de la transformación multiplicativa $g(\theta) = \sin(b\theta)$ de la función seno $f(\theta) = \sin\theta$ es una dilatación horizontal de la gráfica de $f$ y difiere en el período por un factor de $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. La misma transformación de la función coseno produce el mismo resultado.
• 3.6.A.6 La gráfica de $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ tiene una amplitud de $|a|$ unidades, un período de $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unidades, un desplazamiento vertical de la línea media de $d$ unidades desde $y = 0$, y un desplazamiento de fase de $-c$ unidades. Las mismas transformaciones de la función coseno producen los mismos resultados.

Objetivo de Aprendizaje 3.7.A: Construir modelos de funciones sinusoidales para fenómenos periódicos.

• 3.7.A.1 El intervalo más pequeño de valores de entrada sobre el cual los valores de salida máximo o mínimo comienzan a repetirse, es decir, el intervalo de valores de entrada entre máximos consecutivos o mínimos consecutivos, puede utilizarse para determinar o estimar el periodo y la frecuencia de un modelo de función sinusoidal.
• 3.7.A.2 Los valores de salida máximo y mínimo pueden utilizarse para determinar o estimar la amplitud y el desplazamiento vertical de un modelo de función sinusoidal.
• 3.7.A.3 Un par real de valores de entrada-salida se puede comparar con pares de valores de entrada-salida producidos por un modelo de función sinusoidal para determinar o estimar un desplazamiento de fase del modelo.
• 3.7.A.4 Los modelos de función sinusoidal para un conjunto de datos se pueden construir con tecnología estimando valores clave o utilizando regresiones sinusoidales.
• 3.7.A.5 Las funciones sinusoidales que modelan un conjunto de datos suelen ser útiles únicamente en su dominio contextual y pueden usarse para predecir valores de la variable dependiente a partir de valores de la variable independiente.

Objetivo de aprendizaje 3.8.A: Construir representaciones de la función tangente usando el círculo unitario.

• 3.8.A.1 Dado un ángulo de medida $\theta$ en posición estándar y un círculo unitario centrado en el origen, existe un punto $P$ donde el rayo terminal intersecta el círculo. La función tangente, $f(\theta) = \tan\theta$, representa la pendiente del rayo terminal.
• 3.8.A.2 Debido a que la pendiente del rayo terminal es la razón entre el cambio en los valores de $y$ y el cambio en los valores de $x$ entre cualquier dos puntos sobre el rayo, la función tangente también es la razón entre la función seno y la función coseno. Por lo tanto, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, donde $\cos\theta \neq 0$.

Objetivo de aprendizaje 3.8.B: Describir las características principales de la función tangente.

• 3.8.B.1 Dado que los valores de la pendiente del rayo terminal se repiten cada media vuelta del círculo, la función tangente tiene un periodo de $\pi$.
• 3.8.B.2 La función tangente presenta un comportamiento asintótico periódico en los valores de entrada $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, para valores enteros de $k$, debido a que $\cos\theta = 0$ en dichos valores.
• 3.8.B.3 La función tangente es creciente y su gráfica cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba entre asíntotas consecutivas.

Objetivo de Aprendizaje 3.9.A: Construir representaciones analíticas y gráficas de la inversa de las funciones seno, coseno y tangente sobre un dominio restringido.

• 3.9.A.1 Para las funciones trigonométricas inversas, los valores de entrada y salida se invierten con respecto a sus funciones trigonométricas correspondientes; por lo tanto, el valor de salida de una función trigonométrica inversa suele interpretarse como una medida de ángulo y la entrada es un valor en el rango de la función trigonométrica correspondiente.
• 3.9.A.2 Las funciones trigonométricas inversas se denominan arcoseno, arcocoseno y arcotangente (también representadas como $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ y $\tan^{-1}x$). Dado que las funciones trigonométricas correspondientes son periódicas, solo son invertibles si tienen dominios restringidos.
• 3.9.A.3 Con el fin de definir sus respectivas funciones inversas, el dominio de la función seno se restringe a $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, el del coseno a $[0, \pi]$, y el de la tangente a $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Objetivo de aprendizaje 3.10.A: Resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran funciones trigonométricas.

• 3.10.A.1 Las funciones trigonométricas inversas son útiles para resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran funciones trigonométricas, pero las soluciones pueden necesitar ser modificadas debido a restricciones del dominio.
• 3.10.A.2 Dado que las funciones trigonométricas son periódicas, a menudo existen infinitas soluciones para las ecuaciones trigonométricas.
• 3.10.A.3 En ecuaciones e inecuaciones trigonométricas que surgen de un escenario contextual, suele haber una restricción del dominio que puede inferirse del contexto, lo cual limita el número de soluciones.

Objetivo de aprendizaje 3.11.A: Identificar las características principales de las funciones que involucran cocientes de las funciones seno y coseno.

• 3.11.A.1 La función secante, $f(\theta) = \sec\theta$, es el recíproco de la función coseno, donde $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 La función cosecante, $f(\theta) = \csc\theta$, es el recíproco de la función seno, donde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Las gráficas de las funciones secante y cosecante tienen asíntotas verticales donde el coseno y el seno son cero, respectivamente, y tienen un rango de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 La función cotangente, $f(\theta) = \cot\theta$, es el recíproco de la función tangente, donde $\tan\theta \neq 0$. Equivalentemente, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, donde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 La gráfica de la función cotangente tiene asíntotas verticales para los valores del dominio donde $\tan\theta = 0$ y es decreciente entre asíntotas consecutivas.

Objetivo de aprendizaje 3.12.A: Reescribir expresiones trigonométricas en formas equivalentes utilizando la identidad pitagórica.

• 3.12.A.1 El teorema de Pitágoras puede aplicarse a triángulos rectángulos con puntos en el círculo unitario en las coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$, lo que da como resultado la identidad pitagórica: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 La identidad pitagórica se puede manipular algebraicamente para obtener otras formas que involucran funciones trigonométricas, como $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, y puede utilizarse para establecer otras relaciones trigonométricas, como $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, con las restricciones de dominio correspondientes.

Objetivo de aprendizaje 3.12.B: Reescribir expresiones trigonométricas en formas equivalentes utilizando las identidades de suma de seno y coseno.

• 3.12.B.1 La identidad de suma para el seno es $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 La identidad de suma para el coseno es $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Las identidades de suma para el seno y el coseno también pueden utilizarse como identidades de diferencia y de ángulo doble.
• 3.12.B.4 Las propiedades de las funciones trigonométricas, las identidades trigonométricas conocidas y otras propiedades algebraicas pueden usarse para verificar identidades trigonométricas adicionales.

Objetivo de aprendizaje 3.12.C: Resolver ecuaciones utilizando representaciones analíticas equivalentes de funciones trigonométricas.

• 3.12.C.1 Una forma equivalente específica que involucre expresiones trigonométricas puede hacer que la información sea más accesible.
• 3.12.C.2 Las formas trigonométricas equivalentes pueden ser útiles al resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas.

Objetivo de aprendizaje 3.13.A: Determinar la ubicación de un punto en el plano utilizando tanto coordenadas rectangulares como polares.

• 3.13.A.1 El sistema de coordenadas polares se basa en una cuadrícula de círculos centrados en el origen y líneas que pasan por el origen. Las coordenadas polares se definen como un par ordenado $(r, \theta)$, tal que $|r|$ representa el radio del círculo sobre el cual se encuentra el punto, y $\theta$ representa la medida de un ángulo en posición estándar cuya rayo terminal incluye al punto. En el sistema de coordenadas polares, el mismo punto puede representarse de muchas formas.
• 3.13.A.2 Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, pueden convertirse a coordenadas en el sistema de coordenadas rectangulares, $(x, y)$, utilizando $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas rectangulares, $(x, y)$, pueden convertirse a coordenadas en el sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, utilizando $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ para $x > 0$, o $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ para $x < 0$.
• 3.13.A.4 Un número complejo puede entenderse como un punto en el plano complejo y puede determinarse mediante sus correspondientes coordenadas rectangulares o polares. Cuando el número complejo tiene las coordenadas rectangulares $(a, b)$, puede expresarse como $a + bi$. Cuando el número complejo tiene las coordenadas polares $(r, \theta)$, puede expresarse como $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Objetivo de Aprendizaje 3.14.A: Construir gráficas de funciones polares.

• 3.14.A.1 La gráfica de la función $r = f(\theta)$ en coordenadas polares consiste en pares de valores entrada-salida donde los valores de entrada son medidas angulares y los valores de salida son radios.
• 3.14.A.2 El dominio de la función polar $r = f(\theta)$, dado gráficamente, puede restringirse a una porción deseada de la función seleccionando puntos extremos correspondientes al ángulo y radio deseados.
• 3.14.A.3 Al graficar funciones polares en la forma $r = f(\theta)$, los cambios en los valores de entrada corresponden a cambios en la medida del ángulo desde el eje $x$ positivo, y los cambios en los valores de salida corresponden a cambios en la distancia desde el origen.

Objetivo de Aprendizaje 3.15.A: Describir las características de la gráfica de una función polar.

• 3.15.A.1 Si una función polar, $r = f(\theta)$, es positiva y creciente o negativa y decreciente, entonces la distancia entre $f(\theta)$ y el origen está aumentando.
• 3.15.A.2 Si una función polar, $r = f(\theta)$, es positiva y decreciente o negativa y creciente, entonces la distancia entre $f(\theta)$ y el origen está disminuyendo.
• 3.15.A.3 Para una función polar, $r = f(\theta)$, si la función cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente en un intervalo, entonces la función tiene un extremo relativo en el intervalo correspondiente a un punto relativamente más cercano o más lejano al origen.
• 3.15.A.4 La tasa de cambio promedio de $r$ con respecto a $\theta$ sobre un intervalo de $\theta$ es la razón del cambio en los valores del radio con respecto al cambio en $\theta$ sobre un intervalo de $\theta$. Gráficamente, la tasa de cambio promedio indica la velocidad a la que cambia el radio por radián.
• 3.15.A.5 La tasa de cambio promedio de $r$ con respecto a $\theta$ sobre un intervalo de $\theta$ puede utilizarse para estimar valores de la función dentro del intervalo.