Exploring Accumulations of Change · Explorando Acumulaciones de Cambio
| English | Español |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | cambio neto |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | acumulación |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | área con signo |
Adding up change to get a total
- The derivative took things apart into rates. Integration puts them back together into totals.
- If you know the rate something changes, you can find the net change 净变化 it accumulates.
- Drive at a known speed for a while → total distance is speed accumulated over time.
- This "adding up a rate" is the second big idea of calculus: accumulation 累积.
Sumar los cambios para obtener un total
- La derivada descompone las cosas en tasas de cambio. La integración las vuelve a unir en totales.
- Si conoces la tasa a la que cambia algo, puedes encontrar el cambio neto 净变化 que se acumula.
- Conducir a una velocidad conocida durante un tiempo → la distancia total es la velocidad acumulada a lo largo del tiempo.
- Este "sumar una tasa" es la segunda gran idea del cálculo: acumulación 累积.
Integration (accumulation) is essentially the reverse of... · La integración (acumulación) es esencialmente lo opuesto a...
Accumulating a rate undoes differentiating a total. · Acumular una tasa invierte derivar un total.
The total change accumulated from a rate over an interval is called the ____ change. · El cambio total acumulado a partir de una tasa sobre un intervalo se llama cambio ____.
Net change = signed accumulation. · Cambio neto = acumulación con signo.
Area under a rate graph = accumulated amount
- Plot a rate of change against time. The area 面积 under that graph is the total accumulated change.
- Constant rate $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ for $2$ h → area of a rectangle $=60\times2=120$ km.
- A changing rate makes a curvy region, but the idea is the same: area = accumulated quantity.
- Height is the rate; width is the interval; area is the total.
Área bajo una gráfica de tasas = cantidad acumulada
- Grafica una tasa de cambio contra el tiempo. El área 面积 bajo esa gráfica es el cambio total acumulado.
- Tasa constante de $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ durante $2$ h → área de un rectángulo $=60\times2=120$ km.
- Una tasa variable genera una región curva, pero la idea es la misma: área = cantidad acumulada.
- La altura es la tasa; el ancho es el intervalo; el área es el total.
Area under a rate is a total · El área bajo una tasa es un total
y = 3 (constant rate) · y = 3 (tasa constante)
The shaded area under a rate curve is the accumulated amount — widen the interval and the total grows. · El área sombreada bajo una curva de tasa representa la cantidad acumulada; al ampliar el intervalo, el total aumenta.
A tap runs at $3$ L/min for $4$ min. The area under the rate graph (accumulated volume) is... · Un grifo fluye a $3$ L/min durante $4$ min. El área bajo la gráfica de la tasa (volumen acumulado) es...
Rectangle area $=3\times4=12$ L. · Área del rectángulo $=3\times4=12$ L.
A rate rises linearly from $0$ to · hasta $6$ over $4$ min (a triangle). The accumulated amount (area) is... · Una tasa aumenta linealmente desde $0$ hasta $6$ en $4$ min (un triángulo). La cantidad acumulada (área) es...
Triangle area $=\tfrac12\times4\times6=12$. · Área del triángulo $=\tfrac12\times4\times6=12$.
Signed area: rates can be negative
- When the rate is positive, the quantity grows (area counts as positive).
- When the rate is negative (below the axis), the quantity shrinks (area counts as negative).
- The net change is signed area 带符号面积: positive parts minus negative parts.
- So an object moving backward subtracts from the accumulated displacement.
Área con signo: las tasas pueden ser negativas
- Cuando la tasa es positiva, la cantidad crece (el área cuenta como positiva).
- Cuando la tasa es negativa (por debajo del eje), la cantidad disminuye (el área cuenta como negativa).
- El cambio neto es el área con signo 带符号面积: partes positivas menos partes negativas.
- Por lo tanto, un objeto que se mueve hacia atrás resta al desplazamiento acumulado.
Where a rate graph dips below the axis, that area subtracts from the net accumulated change. · Donde una gráfica de tasa desciende por debajo del eje, esa área se resta del cambio neto acumulado.
Below-axis area is negative (signed area). · El área bajo el eje es negativa (área con signo).
On a velocity-time graph, a portion below the axis means the object... · En una gráfica de velocidad-tiempo, una parte por debajo del eje significa que el objeto...
Negative velocity = backward motion = negative signed area. · Velocidad negativa = movimiento hacia atrás = área con signo negativa.
From rate back to amount
- If $f$ is a rate and you accumulate from $a$ to $b$, you get the net change of the original quantity.
- This is exactly the reverse of differentiating — undoing the rate to recover the total.
- The tool that computes this signed area precisely is the definite integral (coming up).
- For now: area under a rate graph = the amount that accumulated.
De la tasa de nuevo a la cantidad
- Si $f$ es una tasa y la acumulas desde $a$ hasta $b$, obtienes el cambio neto de la cantidad original.
- Esto es exactamente lo opuesto a derivar — deshacer la tasa para recuperar el total.
- La herramienta que calcula este área con signo con precisión es la integral definida (que viene más adelante).
- Por ahora: área bajo una gráfica de tasas = la cantidad que se acumuló.
Accumulated change is signed area, not just "area." A velocity graph that dips below the axis means the object moved backward, which subtracts from the net displacement. Don't add all the area as positive — regions below the axis count as negative.
El cambio acumulado es área con signo, no solo "área". Una gráfica de velocidad que desciende por debajo del eje significa que el objeto se movió hacia atrás, lo cual resta al desplazamiento neto. No sumes toda el área como positiva; las regiones por debajo del eje cuentan como negativas.
A tap fills a tank at a rate of $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ for $4$ minutes, then $0$ after.
- The rate graph is a rectangle: height $3$, width $4$.
- Accumulated volume = area $=3\times4=12$ L.
- If the rate later went negative (draining), that area would subtract from the total.
Una llave llena un tanque a una tasa de $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ durante $4$ minutos, y luego $0$ después.
- La gráfica de tasas es un rectángulo: altura $3$, ancho $4$.
- Volumen acumulado = área $=3\times4=12$ L.
- Si la tasa fuera negativa después (drenando), esa área restaría al total.
Accumulation turns a rate back into a total: the signed area under a rate-of-change graph over $[a,b]$ is the net change of the quantity. Positive rate → area adds; negative rate → area subtracts. The definite integral makes this precise.
La acumulación convierte una tasa de nuevo en un total: el área con signo 带符号面积 bajo una gráfica de tasa de cambio en $[a,b]$ es el cambio neto de la cantidad. Tasa positiva → el área suma; tasa negativa → el área resta. La integral definida hace esto preciso.