Using L'Hospital's Rule for Determining Limits of Indeterminate Forms · Uso de la Regla de L'Hospital para Determinar Límites de Formas Indeterminadas
| English | Español |
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| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | Regla de L'Hôpital |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | formas indeterminadas |
A derivative trick for stubborn limits
- Back in Unit 1, $\tfrac00$ meant "simplify by algebra." Sometimes no algebra helps.
- L'Hospital's Rule 洛必达法则 uses derivatives to crack those stubborn limits.
- It applies to the indeterminate forms $\tfrac00$ and $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- The idea: replace the ratio of functions by the ratio of their derivatives.
Un truco de derivadas para límites tenaces
- En la Unidad 1, $\tfrac00$ significaba "simplificar mediante álgebra". A veces el álgebra no ayuda.
- La Regla de L'Hospital (洛必达法则) utiliza derivadas para resolver esos límites tenaces.
- Se aplica a las formas indeterminadas $\tfrac00$ y $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- La idea: reemplazar la razón de funciones por la razón de sus derivadas.
Check the form first
- L'Hospital only applies to a genuine indeterminate form: $\dfrac00$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Substitute first to confirm you have one — if direct substitution already gives a number, you are done, and the rule does not apply.
- Using it on a non-indeterminate limit (like $\tfrac{5}{2}$) gives a wrong answer.
- So always verify the form before reaching for the rule.
Verifique la forma primero
- La Regla de L'Hospital solo se aplica a una verdadera forma indeterminada: $\dfrac00$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Sustituya primero para confirmar que tiene una — si la sustitución directa ya da un número, ha terminado, y la regla no se aplica.
- Usarla en un límite no indeterminado (como $\tfrac{5}{2}$) da una respuesta incorrecta.
- Por lo tanto, siempre verifique la forma antes de recurrir a la regla.
L'Hospital's Rule applies to which indeterminate forms? · La Regla de L'Hospital se aplica a cuáles formas indeterminadas?
Only $\tfrac00$ and · y $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ is already determinate; $\tfrac30$ is an asymptote, not indeterminate. · Solo $\tfrac00$ y $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ ya es determinado; $\tfrac30$ es una asíntota, no indeterminado.
Before applying the rule, confirm the limit is an ____ form by substituting. · Antes de aplicar la regla, confirma que el límite es una forma ____ sustituyendo.
Only $\tfrac00$ or $\tfrac\infty\infty$ qualify. · Solo $\tfrac00$ o $\tfrac\infty\infty$ califican.
Differentiate top and bottom separately
- The rule: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(when the form is indeterminate).
- Warning: this is not the quotient rule — you differentiate $f$ and $g$ independently, no minus, no $g^2$.
- Then re-evaluate the new, simpler limit.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — the famous limit, in one line.
Derive arriba y abajo por separado
- La regla: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(cuando la forma es indeterminada).
- Advertencia: esto no es la regla del cociente — usted deriva $f$ y $g$ de forma independiente, sin signo menos, ni $g^2$.
- Luego reevalúe el nuevo límite más simple.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — el límite famoso, en una sola línea.
A 0/0 ratio with a real limit · Una razón 0/0 con un límite real
y = sin(x)/x (near 0) · y = sin(x)/x (cerca de 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ looks like $\tfrac00$ at $0$ but the curve heads smoothly to $1$ — L'Hospital finds that value fast. · $\tfrac{\sin x}{x}$ parece $\tfrac00$ en $0$, pero la curva se dirige suavemente hacia $1$ — L'Hospital encuentra ese valor rápidamente.
L'Hospital's Rule uses the quotient rule $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ on the numerator and denominator. · La Regla de L'Hospital usa la regla del cociente $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ sobre el numerador y el denominador.
It differentiates $f$ and · y $g$ separately: $\tfrac{f'}{g'}$, not the quotient rule. · Deriva $f$ y $g$ por separado: $\tfrac{f'}{g'}$, no la regla del cociente.
Evaluate · Evaluación $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ using the rule. · Evalúa $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ usando la regla.
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
By L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$ · Por L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
$\cos 0=1$.
Repeat if it's still indeterminate
- If the new ratio $\tfrac{f'}{g'}$ is also $\tfrac00$ or $\tfrac\infty\infty$, apply the rule again.
- Keep differentiating top and bottom until you get a determinate value.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (two applications).
- Each round must still be indeterminate to justify another application.
Repita si sigue siendo indeterminado
- Si la nueva razón $\tfrac{f'}{g'}$ también es $\tfrac00$ o $\tfrac\infty\infty$, aplique la regla de nuevo.
- Siga derivando arriba y abajo hasta obtener un valor determinado.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (dos aplicaciones).
- Cada ronda debe seguir siendo indeterminada para justificar otra aplicación.
Applying the rule twice, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (a decimal) · Aplicando la regla dos veces, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (un decimal)
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ is not the quotient rule. L'Hospital differentiates numerator and denominator separately: $\frac{d}{dx}[f]$ over $\frac{d}{dx}[g]$ — no $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. And only use it on $\tfrac00$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$; applying it when the limit is already determinate produces nonsense.
$\dfrac{f'}{g'}$ no es la regla del cociente. L'Hospital deriva el numerador y el denominador por separado: $\frac{d}{dx}[f]$ sobre $\frac{d}{dx}[g]$ — no $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. Y úsela solo en $\tfrac00$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$; aplicarla cuando el límite ya está determinado produce sin sentido.
Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Substitute: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — indeterminate, so L'Hospital applies.
- Differentiate top and bottom: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
Evalúe $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Sustituya: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — indeterminado, por lo que aplica L'Hospital.
- Derive arriba y abajo: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
L'Hospital's Rule: for the indeterminate forms $\tfrac00$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — differentiate top and bottom separately (not the quotient rule) and re-evaluate. Confirm the form first, and repeat the rule while the result stays indeterminate.
Regla de L'Hospital: para las formas indeterminadas $\tfrac00$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — derive arriba y abajo por separado (no la regla del cociente) y reevalúe. Confirme la forma primero, y repita la regla mientras el resultado siga siendo indeterminado.