Energy in simple harmonic motion · Energía en el movimiento armónico simple
| English | Español |
|---|---|
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | equilibrio |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | amortiguamiento |
Where the energy goes at the top of a swing
- At the highest point of a swing you are, for an instant, completely still. Your kinetic energy is exactly zero.
- A moment later you are moving faster than at any other point in the arc. Nothing pushed you; the energy was never gone.
- It was in the potential store, and it came straight back out. An oscillation is that exchange, repeated for as long as friction allows.
- This lesson is the energy of an oscillator: how it swaps, why the total is constant, and why the total depends on the square of the amplitude.
A dónde va la energía en la cima de un balanceo
- En el punto más alto de un balanceo, estás completamente inmóvil por un instante. Tu energía cinética es exactamente cero.
- Un momento después te mueves más rápido que en cualquier otro punto del arco. Nadie te empujó; la energía nunca desapareció.
- Estaba en el almacén de energía potencial y salió directamente. Una oscilación es ese intercambio, repetido durante todo el tiempo que la fricción lo permita.
- Esta lección trata sobre la energía de un oscilador: cómo intercambia, por qué el total es constante y por qué el total depende del cuadrado de la amplitud.
The swap
- At the equilibrium 平衡 position the speed is greatest, so the kinetic energy is maximum and the potential energy is at its minimum.
- At the extremes the oscillator is momentarily at rest, so the kinetic energy is zero and the potential energy is at its maximum.
- In between, the two trade continuously. The exchange happens twice per full oscillation, since the oscillator passes through the centre twice.
Two curves in opposite phase, and a flat line above them
El intercambio
- En la posición de equilibrio 平衡, la velocidad es máxima, por lo que la energía cinética es máxima y la energía potencial está en su mínimo.
- En los extremos, el oscilador está momentáneamente en reposo, por lo que la energía cinética es cero y la energía potencial está en su máximo.
- Entre ambos, los dos intercambian continuamente. El intercambio ocurre dos veces por oscilación completa, ya que el oscilador pasa por el centro dos veces.
Dos curvas en fase opuesta, y una línea plana por encima de ellas
The kinetic energy of an oscillator is greatest: · La energía cinética de un oscilador es máxima:
Speed is greatest at the middle, so KE peaks there while PE is at its lowest. · La velocidad es máxima en el medio, por lo que KE alcanza su pico allí mientras PE está en su valor más bajo.
At the extreme positions of the motion, all the energy is potential. · En las posiciones extremas del movimiento, toda la energía es potencial.
The oscillator is momentarily at rest there, so KE = 0 and all the energy is potential. · El oscilador se detiene momentáneamente allí, por lo que KE = 0 y toda la energía es potencial.
The total is constant
- With no damping 阻尼, no resistive force removing energy, the total energy stays constant. This is conservation of energy applied to the oscillator.
- The easiest place to evaluate it is at the centre, where all of it is kinetic and the speed is $\omega x_0$:
- On a graph against displacement, the kinetic energy is a downward parabola, the potential energy an upward one, and their sum is a horizontal line.
The two parabolas add to a constant at every displacement
El total es constante
- Sin amortiguamiento 阻尼, ninguna fuerza resistiva que elimine energía, la energía total permanece constante. Esto es la conservación de la energía aplicada al oscilador.
- El lugar más fácil para evaluarla es en el centro, donde toda ella es cinética y la velocidad es $\omega x_0$:
- En un gráfico frente al desplazamiento, la energía cinética es una parábola invertida, la energía potencial una hacia arriba, y su suma es una línea horizontal.
Las dos parábolas se suman a una constante en cada desplazamiento
Energy in SHM · Energía en el MAS
KE + PE = constant · EC + EP = constante
Energy trades between kinetic (fastest at the centre) and potential · potencial (max at the ends). · La energía se intercambia entre cinética (máxima en el centro) y potencial (máxima en los extremos).
With no damping, the total energy of an oscillator stays constant. · Sin amortiguamiento, la energía total de un oscilador permanece constante.
Energy just swaps between KE and PE; their sum is conserved. · La energía solo se intercambia entre KE y PE; su suma se conserva.
Energy and amplitude
- Because $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, the total energy is proportional to the square of the amplitude.
- Double the amplitude and the energy is four times as large. Triple it and the energy is nine times.
- This is the relationship the exam tests most often, and answering "twice" for a doubled amplitude is the commonest error in the subtopic.
Energía y amplitud
- Porque $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud.
- Duplicar la amplitud y la energía es cuatro veces mayor. Triplícala y la energía es nueve veces.
- Esta es la relación que el examen prueba con mayor frecuencia, y responder "el doble" para una amplitud duplicada es el error más común en este subtema.
If the amplitude doubles, the total energy of an oscillator becomes: · Si la amplitud se duplica, la energía total de un oscilador se convierte en:
$E \propto x_0^{2}$, so doubling $x_0$ gives $2^{2} = 4$ times the energy. · $E \propto x_0^{2}$, por lo que al duplicar $x_0$ se obtienen $2^{2} = 4$ veces la energía.
The amplitude of an undamped oscillator is doubled. What happens to its total energy? · La amplitud de un oscilador no amortiguado se duplica. ¿Qué sucede con su energía total?
E is proportional to the square of the amplitude, from E = m omega^2 x0^2 / 2. Answering "twice" is the commonest error in this subtopic. · E es proporcional al cuadrado de la amplitud, según E = m omega^2 x0^2 / 2. Responder "el doble" es el error más común en este subtema.
Worked example: find the total energy
- An oscillator of mass $0.20\ \text{kg}$ has angular frequency $10\ \text{rad/s}$ and amplitude $0.050\ \text{m}$. Find its total energy and its kinetic energy at a displacement of $0.030\ \text{m}$.
- Total: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- At $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, so $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- The potential energy there is the difference, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. Using the constant total to get the second energy is quicker and safer than a separate formula.
Ejemplo resuelto: encontrar la energía total
- Un oscilador de masa $0.20\ \text{kg}$ tiene una frecuencia angular $10\ \text{rad/s}$ y una amplitud $0.050\ \text{m}$. Encuentra su energía total y su energía cinética en un desplazamiento de $0.030\ \text{m}$.
- Total: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- En $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, luego $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- La energía potencial allí es la diferencia, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. Usar el total constante para obtener la segunda energía es más rápido y seguro que una fórmula separada.
An oscillator has $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ and amplitude $0.10\ \text{m}$. What is its total energy? · Un oscilador tiene $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ y amplitud $0.10\ \text{m}$. ¿Cuál es su energía total?
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
An oscillator of mass 0.20 kg has omega = 10 rad/s and amplitude 0.050 m. What is its total energy, in joules? · Un oscilador de masa 0.20 kg tiene omega = 10 rad/s y amplitud 0.050 m. ¿Cuál es su energía total, en julios?
E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0.20 x 100 x 0.0025 / 2 = 0.025 J. Evaluating at the centre, where all the energy is kinetic, is the quickest route. · E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0.20 x 100 x 0.0025 / 2 = 0.025 J. Evaluar en el centro, donde toda la energía es cinética, es la ruta más rápida.
If the total energy is 0.025 J and the kinetic energy at some displacement is 0.016 J, the potential energy there is ____ J. · Si la energía total es 0.025 J y la energía cinética en algún desplazamiento es 0.016 J, la energía potencial allí es ____ J.
The total is constant, so the potential energy is simply the total minus the kinetic. That subtraction is quicker and safer than a separate formula. · La total es constante, por lo que la energía potencial es simplemente la total menos la cinética. Esa resta es más rápida y segura que una fórmula separada.
Worked example: reading the energy graphs
- Sketch how the kinetic energy, the potential energy and the total energy of an undamped oscillator vary with displacement.
- Kinetic energy: maximum at $x = 0$, falling to zero at $x = \pm x_0$, a downward parabola.
- Potential energy: zero at $x = 0$, rising to the maximum at $x = \pm x_0$, an upward parabola, and the mirror image of the first.
- Total: a horizontal line at the value of either maximum, since the two curves always add to the same amount.
- Against time instead of displacement, both curves are still parabola-shaped in energy but now oscillate at twice the frequency of the displacement, because energy peaks twice per cycle.
Ejemplo resuelto: leer los gráficos de energía
- Dibuja cómo varían la energía cinética, la energía potencial y la energía total de un oscilador no amortiguado con el desplazamiento.
- Energía cinética: máxima en $x = 0$, cayendo a cero en $x = \pm x_0$, una parábola invertida.
- Energía potencial: cero en $x = 0$, subiendo hasta el máximo en $x = \pm x_0$, una parábola hacia arriba, y la imagen especular de la primera.
- Total: una línea horizontal en el valor de cualquiera de los máximos, ya que las dos curvas siempre se suman a la misma cantidad.
- Frente al tiempo en lugar del desplazamiento, ambas curvas siguen teniendo forma parabólica en energía pero ahora oscilan a una frecuencia doble que la del desplazamiento, porque hay dos picos de energía por ciclo.
Match each energy of an undamped oscillator to its graph against displacement. · Relacione cada energía de un oscilador no amortiguado con su gráfica frente al desplazamiento.
The two parabolas are mirror images, so they add to the same value at every displacement. That flat line is conservation of energy drawn out. · Las dos parábolas son imágenes especulares, por lo que se suman para dar el mismo valor en cada desplazamiento. Esa línea plana representa la conservación de la energía representada gráficamente.
Plotted against time, the kinetic energy of an oscillator repeats at twice the frequency of the displacement. · Representada frente al tiempo, la energía cinética de un oscilador se repite a una frecuencia el doble que la del desplazamiento.
The oscillator passes through the centre twice per cycle, so kinetic energy peaks twice per cycle while displacement peaks once. · El oscilador pasa por el centro dos veces por ciclo, por lo que la energía cinética alcanza su máximo dos veces por ciclo mientras el desplazamiento solo lo hace una vez.
Energy against time runs at double the frequency
- Plot the displacement against time and you get one cycle per period. Plot the kinetic energy against time and you get two.
- The reason is the square. Kinetic energy depends on $v^2$, and $v$ passes through its maximum magnitude twice in every cycle, once going each way.
- So both energy curves complete two maxima per oscillation, and their frequency is double that of the displacement.
- The two curves are exact mirrors of each other about the half-total line, and their sum is a horizontal line at the total energy.
- A sketch question here is marked on three things: the doubled frequency, the two curves being out of step by half their period, and the flat total.
La energía frente al tiempo corre al doble de frecuencia
- Grafica el desplazamiento frente al tiempo y obtienes un ciclo por período. Grafica la energía cinética frente al tiempo y obtienes dos.
- La razón es el cuadrado. La energía cinética depende de $v^2$, y $v$ pasa por su magnitud máxima dos veces en cada ciclo, una vez en cada dirección.
- Así que ambas curvas de energía completan dos máximos por oscilación, y su frecuencia es el doble que la del desplazamiento.
- Las dos curvas son espejos exactas una de la otra respecto a la línea de mitad del total, y su suma es una línea horizontal en la energía total.
- Una pregunta de dibujo aquí se califica en tres cosas: la frecuencia duplicada, las dos curvas fuera de paso por medio su período, y el total plano.
The kinetic energy of an oscillator varies at twice the frequency of its displacement. · La energía cinética de un oscilador varía a una frecuencia el doble que la de su desplazamiento.
KE depends on v squared, and the speed reaches its maximum twice per cycle, once in each direction. The potential energy does the same, and the two sum to a flat line. · KE depende de v al cuadrado, y la velocidad alcanza su máximo dos veces por ciclo, una en cada dirección. La energía potencial hace lo mismo, y ambas se suman para formar una línea plana.
Marks that slip away
- Energy is proportional to amplitude squared. Doubling the amplitude gives four times the energy, not twice.
- Kinetic energy is maximum at the centre, potential at the ends. Do not swap them.
- Against time, the energy curves repeat at twice the frequency of the displacement, because there are two energy peaks per oscillation.
- The total is constant only when there is no damping. Say so when the question mentions resistive forces.
Puntos que se pierden fácilmente
- La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado. Duplicar la amplitud da cuatro veces la energía, no el doble.
- La energía cinética es máxima en el centro, la potencial en los extremos. No los cambies.
- Frente al tiempo, las curvas de energía se repiten a una frecuencia doble que la del desplazamiento, porque hay dos picos de energía por oscilación.
- El total es constante solo cuando no hay amortiguamiento. Dilo cuando la pregunta mencione fuerzas resistivas.
You've got it
- kinetic energy is maximum at the centre and zero at the extremes; potential energy does the opposite, and they exchange twice per cycle
- with no damping the total is constant: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, most easily evaluated at the centre where all of it is kinetic
- against displacement the energies are two opposite parabolas whose sum is a horizontal line
- $E \propto x_0^2$: double the amplitude, four times the energy
Lo has entendido
- la energía cinética es máxima en el centro y cero en los extremos; la energía potencial hace lo contrario, y se intercambian dos veces por ciclo
- sin amortiguamiento el total es constante: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, evaluado más fácilmente en el centro donde toda ella es cinética
- frente al desplazamiento las energías son dos parábolas opuestas cuya suma es una línea horizontal
- $E \propto x_0^2$: duplicar la amplitud, cuatro veces la energía