Circular motion and angular speed · Movimiento circular y velocidad angular
| English | Español |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianes |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longitud de arco |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | velocidad angular |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | frecuencia |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | tangencial |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | velocidad lineal |
The merry-go-round
- Two horses on a merry-go-round both go round once together.
- Yet the outer horse clearly moves faster than the inner one.
- The link between "going round" and "speed" is what we set up here.
La noria
- Dos caballos en una noria dan una vuelta completa al mismo tiempo.
- Sin embargo, el caballo exterior se mueve claramente más rápido que el interior.
- El vínculo entre "dar vueltas" y la "velocidad" es lo que establecemos aquí.
Angles in radians 弧度
- A radian is the angle whose arc length 弧长 equals the radius: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- A full circle is $2\pi\ \text{rad}$. (Set your calculator to radians for this topic.)
A Ferris wheel: each car moves in a circle at a steady angular speed 角速度
Ángulos en radianes 弧度
- Un radián es el ángulo cuya longitud de arco 弧长 es igual al radio: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- Una circunferencia completa equivale a $2\pi\ \text{rad}$. (Ajusta tu calculadora a radianes para este tema.)
Una noria: cada coche se mueve en un círculo a velocidad angular constante 角速度
Angular speed · Velocidad angular
s = rθ
Angular speed turns angle · ángulo per time; arc length s = rθ. · La velocidad angular es ángulo por tiempo; longitud de arco s = rθ.
One radian is the angle for which the arc length equals the: · Un radián es el ángulo para el cual la longitud de arco es igual a la:
$\theta = \dfrac{s}{r}$, so when the arc $s$ equals the radius $r$, the angle is exactly one radian. · $\theta = \dfrac{s}{r}$, por lo que cuando el arco $s$ es igual al radio $r$, el ángulo es exactamente un radián.
How many radians are there in a complete circle? · ¿Cuántos radianes hay en una circunferencia completa?
A full circle has arc $s = 2\pi r$, so $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$. · Una circunferencia completa tiene arco $s = 2\pi r$, así que $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$.
Match each term to the definition the examiner marks. · Empareja cada término con la definición que marca el examinador.
Defining the radian as 180/pi degrees, or by the formula theta = s/r, loses the mark. The arc equal in length to the radius is the marked phrase. · Definir el radián como 180/pi grados, o mediante la fórmula theta = s/r, no otorga el puntaje. La frase marcada es la del arco igual en longitud al radio.
Angular speed
- Angular speed $\omega$ is how fast the angle changes: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Unit: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
One radian is the angle whose arc length equals the radius
Velocidad angular
- La velocidad angular $\omega$ indica qué tan rápido cambia el ángulo: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- Unidad: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Un radián es el ángulo cuya longitud de arco es igual al radio
Period 周期 and frequency 频率
- One turn takes the period $T$, so $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ is the number of turns per second (Hz).
As the radius turns through the angle the object moves an arc at speed v
Periodo 周期 y frecuencia 频率
- Dar una vuelta toma un periodo $T$, por lo tanto $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ es el número de vueltas por segundo (Hz).
A medida que el radio gira un ángulo, el objeto recorre un arco a velocidad v
An object goes once round every $2.0\ \text{s}$. What is its angular speed? · Un objeto da una vuelta completa cada $2.0\ \text{s}$. ¿Cuál es su velocidad angular?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Angular speed equals $2\pi$ divided by the ____. · La velocidad angular es igual a $2\pi$ dividido por el ____.
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — the whole turn ($2\pi$) divided by the time for one turn. · $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — la vuelta completa ($2\pi$) dividida entre el tiempo para una vuelta.
Linear and angular speed
- The actual (tangential 切向) speed is $v = r\omega$.
- Same $\omega$, bigger $r$ → bigger $v$ — which is why the outer horse is faster.
Velocidad lineal y velocidad angular
- La velocidad real (tangencial 切向) es $v = r\omega$.
- Mismo $\omega$, mayor $r$ → mayor $v$ — que es la razón por la cual el caballo exterior es más rápido.
A point at radius $0.50\ \text{m}$ turns at $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its linear speed? · Un punto a un radio de $0.50\ \text{m}$ gira con $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. ¿Cuál es su velocidad lineal?
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
On a merry-go-round, a horse further from the centre moves at a higher linear speed. · En un carrusel, un caballo más alejado del centro se mueve a mayor velocidad lineal.
Same angular speed $\omega$, but $v = r\omega$, so a larger radius gives a larger linear speed. · Misma velocidad angular $\omega$, pero $v = r\omega$, por lo que un radio mayor da una velocidad lineal mayor.
A wheel turns once every 4.0 s. What is its angular speed, in rad/s? · Una rueda da una vuelta cada 4.0 s. ¿Cuál es su velocidad angular, en rad/s?
omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. Every formula in this topic assumes radians, so a calculator in degrees quietly ruins v = r omega too. · omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. Todas las fórmulas en este tema asumen radianes, así que tener la calculadora en grados arruina silenciosamente también v = r omega.
Describing uniform circular motion
- The exam asks for it "in terms of velocity and acceleration". Say all three things:
- the speed is constant, but the velocity is not — it is along the tangent and its direction changes continuously;
- the acceleration has constant magnitude and is always directed towards the centre, perpendicular to the velocity.
Descripción del movimiento circular uniforme
- El examen lo pide "en términos de velocidad y aceleración". Di las tres cosas:
- la velocidad es constante, pero la velocidad vectorial no lo es — está dirigida a lo largo de la tangente y su dirección cambia continuamente;
- la aceleración tiene magnitud constante y siempre está dirigida hacia el centro, perpendicular a la velocidad.
Which statements correctly describe an object in uniform circular motion? Select all that apply. · ¿Qué enunciados describen correctamente a un objeto en movimiento circular uniforme? Selecciona todos los que correspondan.
The speed is constant but the velocity keeps changing direction, so there is an acceleration — of constant size, always towards the centre. · La rapidez es constante pero la velocidad cambia continuamente de dirección, por lo que existe una aceleración —de magnitud constante, siempre dirigida hacia el centro.
In uniform circular motion, which are constant? Select all · todos that apply. · En el movimiento circular uniforme, ¿cuáles son constantes? Selecciona todos los que correspondan.
The velocity changes continuously in direction, which is exactly why there is an acceleration at all. The force does no work, so the kinetic energy never changes. · La velocidad cambia continuamente en dirección, lo cual es precisamente por qué existe una aceleración. La fuerza no realiza trabajo, por lo que la energía cinética nunca cambia.
Worked example: standing still, moving fast
Cambridge is at latitude $52.2^\circ$ on an Earth of radius $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ that turns once a day. Find the radius of the circle Cambridge moves round, its speed, and the resultant force on a $60\ \text{kg}$ student needed for this motion.
- Radius of the circle: the city circles the Earth's axis, not its centre, so $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Angular speed: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Speed: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Resultant force: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, towards the axis.
- Check: a tiny force compared with the student's $590\ \text{N}$ weight — which is why we do not notice the spin, even though we are moving faster than a jet aircraft.
Ejemplo resuelto: quieto, moviéndose rápido
Cambridge se encuentra a latitud $52.2^\circ$ en una Tierra de radio $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ que da una vuelta completa al día. Encuentra el radio del círculo que describe Cambridge, su velocidad y la fuerza resultante necesaria sobre un estudiante de $60\ \text{kg}$ para este movimiento.
- Radio del círculo: la ciudad gira alrededor del eje de la Tierra, no de su centro, así que $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Velocidad angular: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Velocidad: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Fuerza resultante: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, hacia el eje.
- Comprobación: una fuerza diminuta en comparación con el peso de $590\ \text{N}$ del estudiante — por eso no notamos la rotación, aunque nos movemos más rápido que un avión a reacción.
$\omega$ must be in radians per second. Revolutions per minute become $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; a full turn is $2\pi$ in every formula here, never $360$. $r$ in $v = r\omega$ is in metres. And the period is the time for one complete revolution, not for a half-turn or a swing.
$\omega$ debe estar en radianes por segundo. Las revoluciones por minuto se convierten en $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; una vuelta completa es $2\pi$ en todas estas fórmulas, nunca $360$. El $r$ en $v = r\omega$ está en metros. Y el periodo es el tiempo para una revolución completa, no para media vuelta o un balanceo.
A drill bit spins at $3000$ revolutions per minute. What is its angular speed, in rad/s? · Una broca gira a $3000$ revoluciones por minuto. ¿Cuál es su velocidad angular, en rad/s?
$3000$ turns per minute is $50$ per second; each turn is $2\pi$ rad, so $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. · $3000$ vueltas por minuto son $50$ por segundo; cada vuelta es $2\pi$ rad, así que $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Numbers to get a feel for
- A CD at $500$ revolutions per minute: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- A car wheel of radius $0.30\ \text{m}$ at $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, about $11$ turns a second.
- The Earth: one turn in $86\,400\ \text{s}$, so $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — slow in angle, fast at the rim.
Números para tener una idea
- Un CD a $500$ revoluciones por minuto: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Una rueda de automóvil de radio $0.30\ \text{m}$ a $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, aproximadamente $11$ vueltas por segundo.
- La Tierra: una vuelta en $86\,400\ \text{s}$, por lo tanto $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — lento en ángulo, rápido en el borde.
You've got it
- a radian: $\theta = \dfrac{s}{r}$; a full circle is $2\pi\ \text{rad}$
- angular speed $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — convert rpm)
- linear speed 线速度 $v = r\omega$ (bigger radius → faster); uniform circular motion: constant speed, changing velocity, acceleration towards the centre
Ya lo tienes
- un radián: $\theta = \dfrac{s}{r}$; una circunferencia completa es $2\pi\ \text{rad}$
- velocidad angular $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — convierte rpm)
- velocidad lineal 线速度 $v = r\omega$ (radio mayor → más rápido); movimiento circular uniforme: velocidad constante, velocidad vectorial cambiante, aceleración hacia el centro