Functions · Funciones
| English | Español |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | función |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
| range/reɪndʒ/ | range |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | composición |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| one-one/wʌn wʌn/ | uno a uno |
The vending machine test
- A vending machine takes one code and gives exactly one snack. If code A7 sometimes gives crisps and sometimes chocolate, it's broken.
- A function 函数 works the same way: each input maps to exactly one output. This simple rule underpins all of calculus.
La prueba de la máquina expendedora
- Una máquina expendedora toma un código y da exactamente una merienda. Si el código A7 a veces da patatas fritas y otras chocolate, está averiada.
- Una función 函数 funciona de la misma manera: cada entrada se mapea a exactamente una salida. Esta regla simple es la base de todo el cálculo.
Functions, domain 定义域 and range 值域
- A function $f(x)$ sends each input to exactly one output.
- The domain = allowed inputs; the range = the outputs produced.
- Example: $f(x) = \sqrt{x}$ has domain $x \geq 0$ and range $f(x) \geq 0$.
Domain restrictions. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ has domain $x \neq 3$ (division by zero is undefined). The range is all real numbers except $0$.
Funciones, dominio 定义域 y rango 值域
- Una función $f(x)$ envía cada entrada a exactamente una salida.
- El dominio = entradas permitidas; el rango = las salidas producidas.
- Ejemplo: $f(x) = \sqrt{x}$ tiene dominio $x \geq 0$ y rango $f(x) \geq 0$.
Restricciones del dominio. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ tiene dominio $x \neq 3$ (la división por cero no está definida). El rango son todos los números reales excepto $0$.
Explore a function · Explorar una función
y = ax³ + bx² + cx + d
A function turns each input · entrada into exactly one output · salida — drag the coefficients and watch where the curve rises and · y falls. · Una función convierte cada entrada en exactamente una salida — arrastra los coeficientes y observa dónde la curva sube y baja.
The domain of f(x) = √(x − 4) is: · El dominio de f(x) = √(x − 4) es:
The expression under the square root must be non-negative: x − 4 ≥ 0, so x ≥ 4. · La expresión bajo la raíz cuadrada debe ser no negativa: x − 4 ≥ 0, por lo tanto x ≥ 4.
Composition 复合 and inverses 反函数
- A function is one-one 一一对应 if different inputs always give different outputs — only then does it have an inverse $f^{-1}$.
- Composition $fg(x) = f(g(x))$ — do $g$ first, then $f$.
Composición 复合 e inversas 反函数
- Una función es uno a uno 一一对对应 si diferentes entradas siempre dan diferentes salidas — solo entonces tiene una inversa $f^{-1}$.
- Composición $fg(x) = f(g(x))$ — haz $g$ primero, luego $f$.
If f(x) = x² and g(x) = x + 1, what is fg(2) = f(g(2))? · Si f(x) = x² y g(x) = x + 1, ¿cuál es fg(2) = f(g(2))?
g(2) = 3, then f(3) = 3² = 9. · g(2) = 3, luego f(3) = 3² = 9.
Only a one-one function has an inverse function. · Solo una función uno-a-uno tiene una función inversa.
If two inputs gave the same output, the reverse rule would be ambiguous — so only one-one functions are invertible. · Si dos entradas dieran la misma salida, la regla inversa sería ambigua — por lo tanto, solo las funciones uno-a-uno son invertibles.
Finding an inverse
- To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, make $x$ the subject, then swap letters.
- Example: $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
- The graph of $y = f^{-1}(x)$ is the reflection of $y = f(x)$ in the line $y = x$.
Inverse functions are reflections in $y = x$: the point $(a, b)$ on $f$ becomes $(b, a)$ on $f^{-1}$.
Not all functions have inverses. $f(x) = x^2$ is not one-one (both $2$ and $-2$ give $4$), so it has no inverse unless you restrict the domain to $x \geq 0$.
Encontrar una inversa
- Para encontrar $f^{-1}$: escribe $y = f(x)$, despeja $x$, luego intercambia las letras.
- Ejemplo: $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
- La gráfica de $y = f^{-1}(x)$ es la reflexión de $y = f(x)$ en la recta $y = x$.
Las funciones inversas son reflexiones en $y = x$: el punto $(a, b)$ en $f$ se convierte en $(b, a)$ en $f^{-1}$.
No todas las funciones tienen inversas. $f(x) = x^2$ no es uno a uno (tanto $2$ como $-2$ dan $4$), así que no tiene inversa a menos que restrinjas el dominio a $x \geq 0$.
For f(x) = 2x + 6, the inverse is f⁻¹(x) = (x − 6)/2. What is f⁻¹(10)? · Para f(x) = 2x + 6, la inversa es f⁻¹(x) = (x − 6)/2. ¿Cuál es f⁻¹(10)?
f⁻¹(10) = (10 − 6)/2 = 4/2 = 2.
The graph of y = f⁻¹(x) is the reflection of y = f(x) in the line: · La gráfica de y = f⁻¹(x) es el reflejo de y = f(x) a través de la recta:
An inverse reflects the original graph in the line y = x; a point (a, b) becomes (b, a). · Una función inversa refleja la gráfica original a través de la recta y = x; un punto (a, b) se convierte en (b, a).
Properties of inverses
- $f(f^{-1}(x)) = x$ and $f^{-1}(f(x)) = x$ — they undo each other.
- The domain of $f^{-1}$ is the range of $f$, and vice versa.
- Graphically: swap the axes.
- Know the composition of functions $fg(x)$ and graph transformations — a translation, a stretch, and reflections.
Adding to the output or input slides the curve; a multiplier stretches it
Propiedades de las inversas
- $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$ — se deshacen entre sí.
- El dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y viceversa.
- Gráficamente: intercambia los ejes.
- Conoce la composición de funciones $fg(x)$ y grafica transformaciones — una traslación, un estiramiento y reflexiones.
Sumar a la salida o a la entrada desliza la curva; un multiplicador la estira.
For any function f with an inverse, f(f⁻¹(x)) = x. · Para cualquier función f con una inversa, f(f⁻¹(x)) = x.
Applying a function and then its inverse returns the original input — they undo each other. · Aplicar una función y luego su inversa devuelve la entrada original — se anulan entre sí.
You've got it
- function: each input → exactly one output; domain = inputs, range = outputs
- one-one functions have inverses; find $f^{-1}$ by swapping and solving
- composition $fg(x) = f(g(x))$ — do $g$ first, then $f$
- the graph of $f^{-1}$ is the reflection of $f$ in $y = x$
Lo has entendido
- función: cada entrada → exactamente una salida; dominio = entradas, rango = salidas
- Las funciones uno a uno tienen inversas; encuentra $f^{-1}$ intercambiando y resolviendo
- composición $fg(x) = f(g(x))$ — haz $g$ primero, luego $f$
- la gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de $f$ en $y = x$