Continuous random variables (Further) · Variables aleatorias continuas (Más)
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| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | variable continua |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | función de densidad de probabilidad |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | esperanza |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | función de distribución acumulativa |
| median/ˈmiːdiːən/ | mediana |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | percentil |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | cuartil |
Probability as area
- For a continuous variable 连续变量 — a height, a waiting time — no single exact value has a probability; there are infinitely many.
- Instead, probability is the area under a curve, the probability density function 概率密度函数 $f(x)$. The whole area is $1$.
La probabilidad como área
- Para una variable continua —como la altura o un tiempo de espera— ningún valor exacto individual tiene una probabilidad; hay infinitos valores posibles.
- En su lugar, la probabilidad es el área bajo una curva, la función de densidad de probabilidad $f(x)$. El área total es $1$.
The density function and expectation 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, and the total area $\int f = 1$.
- The mean of any function of $X$:
Probabilities are areas under f(x); the total area over the whole range is exactly 1.
La función de densidad y la esperanza
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, y el área total $\int f = 1$.
- La media de cualquier función de $X$:
Las probabilidades son áreas bajo f(x); el área total sobre todo el rango es exactamente 1.
Continuous random variables · Variables aleatorias continuas
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability · probabilidad is the area · área under the density curve. · Para una variable continua, la probabilidad es el área bajo la curva de densidad.
What must the total area under a probability density function equal? · ¿Qué debe valer el área total bajo una función de densidad de probabilidad?
A pdf integrates to 1 over its whole range. · Una pdf se integra a 1 sobre todo su rango.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The CDF accumulates probability from the left:
- It runs from $0$ to $1$, and differentiating recovers the density: $f(x) = F'(x)$.
The CDF $F(x)$ rises from 0 to 1; the median is read off where it reaches a height of 0.5
La función de distribución acumulada 累积分布函数
- La FDA acumula la probabilidad desde la izquierda:
- Varía entre $0$ y $1$, y derivando se recupera la densidad: $f(x) = F'(x)$.
La función de distribución acumulada $F(x)$ aumenta de 0 a 1; la mediana se lee donde alcanza una altura de 0.5
The cumulative distribution function F(x) gives: · La función de distribución acumulada F(x) da:
F(x) = P(X ≤ x), the accumulated area up to x. · F(x) = P(X ≤ x), el área acumulada hasta x.
Differentiating the CDF gives the density: f(x) = F-(x). · Derivar la CDF da la densidad: f(x) = F-(x).
f(x) = F′(x): the density is the derivative of the CDF. · f(x) = F′(x): la densidad es la derivada de la CDF.
Worked example — the median 中位数
- The median $m$ splits the area in half: $F(m) = 0.5$.
- For $f(x) = \tfrac12 x$ on $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, so $\tfrac14 m^2 = 0.5$ gives $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Percentiles 百分位数 work the same way. The lower quartile 四分位数 solves $F(x) = 0.25$; the 90th percentile solves $F(x) = 0.9$. Always set $F$ equal to the fraction you want.
Ejemplo resuelto — la mediana 中位数
- La mediana $m$ divide el área en dos mitades: $F(m) = 0.5$.
- Para $f(x) = \tfrac12 x$ en $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, por lo que $\tfrac14 m^2 = 0.5$ proporciona $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Los percentiles funcionan de la misma manera. El primer cuartil resuelve $F(x) = 0.25$; el percentil 90 resuelve $F(x) = 0.9$. Siempre establece $F$ igual a la fracción que deseas.
For f(x) = ½x on [0,2], F(x) = ¼x². The median solves ¼m² = 0.5. What is m? (2 dp) · Para f(x) = ½x en [0,2], F(x) = ¼x². La mediana resuelve ¼m² = 0.5. ¿Cuál es m? (2 decimales)
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
The median m of a continuous distribution satisfies: · La mediana m de una distribución continua satisface:
The median splits the area in half: F(m) = 0.5. · La mediana divide el área a la mitad: F(m) = 0.5.
Density is not probability
$f(x)$ can exceed 1. A density isn't a probability — only the area is. A tall narrow peak can have $f(x) > 1$ as long as the total area stays $1$.
- Use cumulative distribution functions (CDFs) to find probabilities and percentiles, and the CDF of a related variable.
La densidad no es probabilidad
$f(x)$ puede exceder 1. Una densidad no es una probabilidad — solo el área lo es. Un pico alto y estrecho puede tener $f(x) > 1$ siempre que el área total permanezca $1$.
- Utiliza funciones de distribución acumulada (FDA) para encontrar probabilidades y percentiles, así como la FDA de una variable relacionada.
A probability density f(x) can be greater than 1. · Una densidad de probabilidad f(x) puede ser mayor que 1.
Only the area must be ≤ 1; the density itself can exceed 1 over a narrow interval. · Solo el área debe ser ≤ 1; la densidad misma puede exceder 1 sobre un intervalo estrecho.
You've got it
- probability = area under $f(x)$; total area $= 1$ (density itself can exceed 1)
- the CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, and $f = F'$
- the median solves $F(m) = 0.5$; percentiles solve $F(x) =$ that fraction
Lo has entendido
- probabilidad = área bajo $f(x)$; área total $= 1$ (la densidad en sí puede exceder 1)
- la FAC $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, y $f = F'$
- la mediana resuelve $F(m) = 0.5$; los percentiles resuelven $F(x) =$ esa fracción