Vectors (Further Pure 1) · Vectores (Matemáticas Puras Avanzadas 1)
| English | Español |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | plano |
| skew/skjuː/ | sesgo |
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | producto vectorial |
| normal vector/ˈnɔːml ˈvektə/ | vector normal |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | paralelogramo |
| anti-commutative/ˈænti ˈkɒmjuːtətɪv/ | antic conmutativo |
The mathematics of 3D space
- How do you find the distance from a point to a plane 平面? The angle between two surfaces? The shortest path between two skew 异面 lines?
- Planes and the vector product 向量积 give you the tools to solve all these problems — essential for engineering, architecture, and computer graphics.
La matemática del espacio 3D
- ¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano? ¿El ángulo entre dos superficies? ¿La ruta más corta entre dos rectas alabeadas?
- Planos y el producto vectorial te proporcionan las herramientas para resolver todos estos problemas — esenciales para la ingeniería, la arquitectura y los gráficos por ordenador.
Equations of planes
- A plane can be written in several forms:
The normal vector 法向量 n is perpendicular 垂直 to the plane; the scalar-product form is n·r = d.
- Cartesian: $ax + by + cz = d$
- Vector: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (where $\mathbf{n}$ is the normal vector)
- Parametric: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
Worked example. A plane has normal $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ and passes through $(1, 0, 2)$. Equation: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
Ecuaciones de planos
- Un plano puede escribirse en varias formas:
El vector normal n es perpendicular al plano; la forma de producto escalar es n·r = d.
- Cartesiana: $ax + by + cz = d$
- Vectorial: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (donde $\mathbf{n}$ es el vector normal)
- Paramétrica: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
Ejemplo resuelto. Un plano tiene normal $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ y pasa por $(1, 0, 2)$. Ecuación: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
Vectors · Vectores
a · b = |a||b|cos θ
The · El dot product is zero exactly when two vectors are perpendicular. · El producto escalar es cero exactamente cuando dos vectores son perpendiculares.
Scalar and vector products can find the shortest distance between two skew lines. · Los productos escalares y vectoriales pueden utilizarse para hallar la distancia más corta entre dos rectas alabeadas.
These products let you compute distances, angles and intersections in 3D, including skew-line distances. · Estos productos permiten calcular distancias, ángulos e intersecciones en 3D, incluidas las distancias entre rectas alabeadas.
A plane has equation 2x − y + 3z = 8. The normal vector has components (2, −1, ?). Find the missing component. · Un plano tiene ecuación 2x − y + 3z = 8. El vector normal tiene componentes (2, −1, ?). Encuentra la componente faltante.
The coefficients of x, y, z in ax + by + cz = d give the normal vector (a, b, c) = (2, −1, 3). · Los coeficientes de x, y, z en ax + by + cz = d dan el vector normal (a, b, c) = (2, −1, 3).
The vector (cross) product
- The vector product $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ gives a vector perpendicular to both.
- Its length equals the area of the parallelogram 平行四边形 spanned by $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
Order matters. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. The vector product is anti-commutative 反交换 — swapping the order reverses the direction.
Forces like wind and water are vectors, with both size and direction
El producto vectorial (producto cruz)
- El producto vectorial $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ da como resultado un vector perpendicular a ambos.
- Su longitud es igual al área del paralelogramo definido por $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.
El orden importa. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. El producto vectorial es anticomutativo — invertir el orden invierte la dirección.
Fuerzas como el viento y el agua son vectores, con magnitud y dirección
The vector product a × b gives a vector that is: · El producto vectorial a × b da como resultado un vector que es:
a × b is perpendicular to both vectors; its length is |a||b|sin θ. · a × b es perpendicular a ambos vectores; su longitud es |a||b|sin θ.
The magnitude |a × b| equals the: · La magnitud |a × b| es igual al:
|a × b| = |a||b|sin θ, which is the parallelogram's area. · |a × b| = |a||b|sin θ, que corresponde al área del paralelogramo.
The vector product is commutative: a × b = b × a. · El producto vectorial es conmutativo: a × b = b × a.
The vector product is anti-commutative: a × b = −(b × a). Swapping the order reverses the direction. · El producto vectorial es anticonmutativo: a × b = −(b × a). Invertir el orden invierte la dirección.
If |a| = 3, |b| = 4, and the angle between them is 30°, |a × b| = |a||b|sin θ. Find it. · Si |a| = 3, |b| = 4, y el ángulo entre ellos es 30°, entonces |a × b| = |a||b|sin θ. Calcule el valor.
|a × b| = 3 × 4 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6.
Applications
- With scalar and vector products: distances, angles, where lines and planes meet, and the shortest distance between skew lines.
- Distance from point to plane: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
The vector product is perpendicular to both vectors; its length is the parallelogram area
Aplicaciones
- Con productos escalares y vectoriales: distancias, ángulos, puntos de intersección entre líneas y planos, y la distancia mínima entre rectas alabeadas.
- Distancia de un punto a un plano: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
El producto vectorial es perpendicular a ambos vectores; su longitud es el área del paralelogramo
Finding the normal
- The normal to a plane containing two vectors $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$.
- This is the quickest way to find the Cartesian equation from a parametric form.
Hallar la normal
- La normal a un plano que contiene dos vectores $\mathbf{b}$ y $\mathbf{c}$ es $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$.
- Esta es la forma más rápida de encontrar la ecuación cartesiana a partir de una forma paramétrica.
You've got it
- a plane: $ax + by + cz = d$ or $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- the vector product $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ is perpendicular to both; $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = parallelogram area
- use it for distances, angles, intersections, and skew-line distances
Lo has logrado
- un plano: $ax + by + cz = d$ o $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- el producto vectorial $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ es perpendicular a ambos; $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = área del paralelogramo
- úsalo para distancias, ángulos, intersecciones y distancias entre rectas alabeadas