| English | Español |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | matriz |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformación |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriz identidad |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinante |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | singular |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | invariante |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | agrandamiento |
The mathematics that powers computer graphics
- Every time you rotate an image on your phone, a matrix 矩阵 multiplication is doing the work behind the scenes.
- Matrices are the language of transformations 变换 — they describe rotations, reflections, stretches, and projections in a single compact object.
Las matemáticas que impulsan la informática gráfica
- Cada vez que rotas una imagen en tu teléfono, es una multiplicación de matrices la que trabaja en segundo plano.
- Las matrices son el lenguaje de las transformaciones — describen rotaciones, reflexiones, estiramientos y proyecciones en un solo objeto compacto.
Matrix basics
- A matrix is a rectangular block of numbers. Multiply row × column.
- The identity matrix 单位矩阵 $I$ leaves a matrix unchanged: $AI = IA = A$.
Worked example. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Bases de las matrices
- Una matriz es un bloque rectangular de números. Multiplica fila × columna.
- La matriz identidad $I$ deja inalterada a cualquier matriz: $AI = IA = A$.
Ejemplo resuelto. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Matrices
(x', y') = M(x, y)
A matrix transforms the plane; its determinant is the area scale factor (negative = a flip). · Una matriz transforma el plano; su determinante es el factor de escala del área (negativo = un volteo).
Multiply [[1, 2], [3, 4]] by [[5], [6]]. The top entry of the result is? · Multiplique [[1, 2], [3, 4]] por [[5], [6]]. ¿Cuál es la entrada superior del resultado?
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
Put the steps for finding the inverse of a 2x2 matrix [[a,b],[c,d]] in order. · Coloque los pasos para encontrar la inversa de una matriz 2x2 [[a,b],[c,d]] en orden.
The inverse is (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by det. · La inversa es (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — intercambiar la diagonal, negar la antidiagonal, dividir por det.
Determinants 行列式 and inverses 逆
- For $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: the determinant is $\det A = ad - bc$.
- If $\det A \neq 0$ (non-singular 奇异), the inverse is $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Singular matrices have no inverse. If $\det A = 0$, the matrix is singular — it squashes the plane into a line, losing information that can't be recovered.
Determinantes e inversas
- Para $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: el determinante es $\det A = ad - bc$.
- Si $\det A \neq 0$ (no singular), la inversa es $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Las matrices singulares no tienen inversa. Si $\det A = 0$, la matriz es singular: aplasta el plano hasta convertirlo en una línea, perdiendo información que no se puede recuperar.
What is the determinant of the matrix [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)? · ¿Cuál es el determinante de la matriz [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)?
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
A 2×2 matrix has an inverse exactly when its determinant is: · Una matriz 2×2 tiene inversa exactamente cuando su determinante es:
A non-singular matrix (det ≠ 0) is invertible; det = 0 means singular (no inverse). · Una matriz no singular (det ≠ 0) es invertible; det = 0 significa singular (sin inversa).
For A = [[3, 1], [2, 4]] with det = 10, the top-left entry of A⁻¹ is d/det. Find it. · Para A = [[3, 1], [2, 4]] con det = 10, la entrada superior izquierda de A⁻¹ es d/det. Encuéntrela.
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Top-left = 4/10 = 0.4. · A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Superior izquierda = 4/10 = 0.4.
Matrices as transformations
- A $2\times2$ matrix represents a transformation of the plane; $\det A$ = the area scale factor.
A 2x2 matrix maps the unit square to a parallelogram; its determinant is the area scale factor.
- A product $AB$ means "do $B$, then $A$". Points/lines that don't move are invariant 不变.
Matrices como transformaciones
- Una matriz $2\times2$ representa una transformación del plano; $\det A$ es el factor de escala del área.
Una matriz 2x2 mapea el cuadrado unitario a un paralelogramo; su determinante es el factor de escala del área.
- Un producto $AB$ significa "aplicar $B$, luego aplicar $A$". Los puntos o líneas que no se mueven son invariantes.
For a transformation matrix, the determinant gives the: · Para una matriz de transformación, el determinante proporciona el:
The determinant is the factor by which areas are scaled by the transformation. · El determinante es el factor por el cual las áreas son escaladas por la transformación.
For matrices A and B, the product AB means "do B first, then A". · Para matrices A y B, el producto AB significa "hacer B primero, luego A".
Matrix multiplication is applied right to left: AB(x) = A(B(x)), so B acts first. · La multiplicación de matrices se aplica de derecha a izquierda: AB(x) = A(B(x)), por lo que B actúa primero.
Common transformations
| Matrix | Transformation |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Reflection in $y$-axis |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotation $90°$ anticlockwise |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Enlargement 放大 scale factor $k$ |
- Know matrix addition, the zero matrix, the identity (or unit) matrix, and invariant points and invariant lines of a transformation.
Transformaciones comunes
| Matriz | Transformación |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Reflexión en el eje $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotación de $90°$ antihoraria |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Ampliación factor de escala $k$ |
- Conoce la suma de matrices, la matriz nula, la matriz identidad (o unidad), y los puntos invariantes y líneas invariantes de una transformación.
You've got it
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; invertible when $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- a matrix is a transformation; $\det$ = area scale factor; $AB$ = "do $B$, then $A$"
Lo has logrado
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; invertible si $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- Una matriz es una transformación; $\det$ = factor de escala del área; $AB$ = "aplicar $B$, luego aplicar $A$"