Inferencia para datos cuantitativos: medias

Comprensión duradera (VAR-1): Dado que la variación puede ser aleatoria o no, las conclusiones son inciertas.

Objetivo de aprendizaje VAR-1.I: Identificar preguntas sugeridas por las probabilidades de error en la inferencia estadística. [Habilidad 1.A]

• VAR-1.I.1 La variación aleatoria puede dar lugar a errores en la inferencia estadística.

Comprensión duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar variaciones.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.A: Describir las distribuciones $t$. [Habilidad 3.C]

• VAR-7.A.1 Cuando se utiliza $s$ en lugar de $\sigma$ para calcular una estadística de prueba, la distribución correspondiente, conocida como la distribución $t$, difiere de la distribución normal en su forma, ya que una mayor proporción del área se asigna a las colas de la curva de densidad que en una distribución normal.
• VAR-7.A.2 A medida que aumentan los grados de libertad, el área en las colas de una distribución $t$ disminuye.

Comprensión duradera (UNC-4): Se debe utilizar un intervalo de valores para estimar parámetros, con el fin de tener en cuenta la incertidumbre.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.O: Identificar un procedimiento de intervalo de confianza apropiado para la media poblacional, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 1.D]

• UNC-4.O.1 Dado que $\sigma$ generalmente no es conocido para las distribuciones de variables cuantitativas, el procedimiento de intervalo de confianza apropiado para estimar la media poblacional de una variable cuantitativa para una muestra es un intervalo $t$ de una muestra para la media.
• UNC-4.O.2 Para una variable cuantitativa $X$ que sigue una distribución normal, la distribución de $t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ es una distribución $t$ con $n-1$ grados de libertad.
• UNC-4.O.3 Los pares emparejados pueden considerarse como una sola muestra de pares. Una vez que se encuentran las diferencias entre los pares de valores, la inferencia para los intervalos de confianza prosigue como para la media poblacional.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.P: Verificar las condiciones para calcular intervalos de confianza para la media poblacional, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 4.C]

• UNC-4.P.1 Para calcular intervalos de confianza que estimen la media poblacional, debemos verificar la independencia y que la distribución muestral sea aproximadamente normal:
  • a. Para verificar la independencia:
    • i. Los datos deben recopilarse mediante una muestra aleatoria o un experimento aleatorizado.
    • ii. Al muestrear sin reemplazo, verifique que $n \leq 10\%N$, donde $N$ es el tamaño de la población.
  • b. Para verificar que la distribución muestral de $\overline{x}$ sea aproximadamente normal (forma):
    • i. Si la distribución observada está sesgada, $n$ debería ser mayor que 30.
    • ii. Si el tamaño de la muestra es menor que 30, la distribución de los datos muestrales debe estar libre de sesgos fuertes y valores atípicos.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.Q: Determinar el margen de error para un tamaño de muestra dado para un intervalo $t$ de una muestra. [Habilidad 3.D]

• UNC-4.Q.1 El valor crítico $t^*$ con $n-1$ grados de libertad se puede encontrar utilizando una tabla o salida generada por computadora.
• UNC-4.Q.2 El error estándar para una media muestral viene dado por $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, donde $s$ es la desviación estándar muestral.
• UNC-4.Q.3 Para un intervalo $t$ de una muestra para la media, el margen de error es el valor crítico ($t^*$) multiplicado por el error estándar ($SE$), lo cual equivale a $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.R: Calcular un intervalo de confianza apropiado para la media poblacional, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 3.D]

• UNC-4.R.1 La estimación puntual para la media poblacional es la media muestral, $\overline{x}$.
• UNC-4.R.2 Para la media poblacional de una muestra con desviación estándar poblacional desconocida, el intervalo de confianza es $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.

Enunciado sobre límites: Las fórmulas para las estimaciones por intervalo no aparecen explícitamente en la Hoja de Fórmulas del AP Statistics proporcionada con el Examen AP Statistics. Sin embargo, estas fórmulas no necesitan memorizarse, ya que pueden construirse basándose en la fórmula general de la estadística de prueba y las fórmulas de error estándar relevantes que se proporcionan en la hoja de fórmulas.

Comprensión duradera (UNC-4): Se debe utilizar un intervalo de valores para estimar parámetros, con el fin de tener en cuenta la incertidumbre.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.S: Interpretar un intervalo de confianza para la media poblacional, incluida la diferencia entre las medias de valores emparejados. [Habilidad 4.B]

• UNC-4.S.1 Un intervalo de confianza para la media poblacional contiene o no contiene a la media poblacional, ya que cada intervalo se basa en datos de una muestra aleatoria, la cual varía de una muestra a otra.
• UNC-4.S.2 Tenemos una confianza del C% de que el intervalo de confianza para la media poblacional capta a la media poblacional.
• UNC-4.S.3 Una interpretación de un intervalo de confianza para la media poblacional incluye una referencia a la muestra tomada y detalles sobre la población que representa.
  • Ejemplos ilustrativos para UNC-4.S.3: Para interpretar un intervalo de confianza del 96% para la longitud media del pie de todos los huellas encontradas en una cueva basado en una muestra seleccionada al azar particular de huellas en la cueva: "Tenemos un 96% de confianza de que la longitud media del pie de todas las huellas encontradas en la cueva se encuentra dentro del intervalo de confianza" (basado en la pregunta de respuesta libre 2000 FRQ 2).

Objetivo de aprendizaje UNC-4.T: Justificar una afirmación basada en un intervalo de confianza para la media poblacional, incluida la diferencia entre las medias de valores emparejados. [Habilidad 4.D]

• UNC-4.T.1 Un intervalo de confianza para la media poblacional proporciona un intervalo de valores que puede ofrecer evidencia suficiente para respaldar una afirmación particular en contexto.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.U: Identificar las relaciones entre el tamaño de la muestra, el ancho de un intervalo de confianza, el nivel de confianza y el margen de error para una media poblacional. [Habilidad 4.A]

• UNC-4.U.1 Cuando todo lo demás permanece igual, el ancho de un intervalo de confianza para la media poblacional tiende a disminuir a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
• UNC-4.U.2 Para una sola media, el ancho del intervalo es proporcional a $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.U.3 Para una muestra dada, el ancho del intervalo de confianza para la media poblacional aumenta a medida que aumenta el nivel de confianza.

Comprensión duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.B: Identificar un método de prueba apropiado para la media poblacional con $\sigma$ desconocido, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 1.E]

• VAR-7.B.1 La prueba apropiada para la media poblacional con $\sigma$ desconocido es una prueba $t$ de una muestra para la media poblacional.
• VAR-7.B.2 Los pares emparejados pueden considerarse como una sola muestra de pares. Una vez que se encuentran las diferencias entre los pares de valores, la inferencia para la prueba de significancia prosigue como para la media poblacional.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.C: Identificar las hipótesis nula y alternativa para la media poblacional con $\sigma$ desconocido, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 1.F]

• VAR-7.C.1 La hipótesis nula para una prueba $t$ de una muestra para la media poblacional es $H_0 : \mu = \mu_0$, donde $\mu_0$ es el valor hipotetizado. Dependiendo de la situación, la hipótesis alternativa es $H_a : \mu < \mu_0$, o $H_a : \mu > \mu_0$, o $H_a : \mu \neq \mu_0$.
• VAR-7.C.2 Al encontrar la diferencia media, $\mu_d$, entre valores en un par emparejado, es importante definir el orden de la resta.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.D: Verificar las condiciones para la prueba de la media poblacional, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 4.C]

• VAR-7.D.1 Con el fin de realizar inferencias estadísticas al probar la media poblacional, debemos verificar la independencia y que la distribución muestral sea aproximadamente normal:
  • a. Para verificar la independencia:
    • i. Los datos deben recopilarse mediante una muestra aleatoria o un experimento aleatorizado.
    • ii. Cuando se muestree sin reemplazo, verifique que $n \leq 10\%N$.
  • b. Para verificar que la distribución muestral de $\overline{x}$ sea aproximadamente normal (forma):
    • i. Si la distribución observada está sesgada, $n$ debería ser mayor que 30.
    • ii. Si el tamaño de la muestra es menor que 30, la distribución de los datos de la muestra debe estar libre de fuerte sesgo y valores atípicos.

Comprensión duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.E: Calcular una estadística de prueba adecuada para la media poblacional, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 3.E]

• VAR-7.E.1 Para una única variable cuantitativa cuando se realiza un muestreo aleatorio con reemplazo de una población que puede modelarse con una distribución normal con media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$, la distribución muestral de $t = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ tiene una distribución $t$ con $n - 1$ grados de libertad.

Declaración de límite: Las fórmulas para las estadísticas de prueba no aparecen explícitamente en la Hoja de Fórmulas de Estadística AP proporcionada con el Examen de Estadística AP. Sin embargo, estas fórmulas no necesitan memorizarse, ya que pueden construirse a partir de la fórmula general de la estadística de prueba y las fórmulas relevantes del error estándar que se proporcionan en la hoja de fórmulas.

Comprensión duradera (DAT-3): La prueba de significancia nos permite tomar decisiones sobre hipótesis dentro de un contexto particular.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.E: Interpretar el valor $p$ de una prueba de significancia para la media poblacional, incluida la diferencia media entre valores en pares emparejados. [Habilidad 4.B]

• DAT-3.E.1 Una interpretación del valor $p$ de una prueba de significancia para la media poblacional debe reconocer que el valor $p$ se calcula asumiendo que la hipótesis nula es verdadera, es decir, asumiendo que la media poblacional verdadera es igual al valor particular indicado en la hipótesis nula.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.F: Justificar una afirmación sobre la población basada en los resultados de una prueba de significancia para la media poblacional. [Habilidad 4.E]

• DAT-3.F.1 Una decisión formal compara explícitamente el valor $p$ con la significancia $\alpha$. Si el valor $p$ $\leq \alpha$, entonces rechazar la hipótesis nula, $H_0 : \mu = \mu_0$. Si el valor $p$ $> \alpha$, entonces no rechazar la hipótesis nula.
• DAT-3.F.2 Los resultados de una prueba de significancia para la media poblacional pueden servir como razonamiento estadístico para respaldar la respuesta a una pregunta de investigación sobre la población que fue muestreada.

Comprensión duradera (UNC-4): Se debe utilizar un intervalo de valores para estimar parámetros, a fin de tener en cuenta la incertidumbre.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.V: Identificar un procedimiento de intervalo de confianza apropiado para la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 1.D]

• UNC-4.V.1 Considere una muestra aleatoria simple de la población 1 de tamaño $n_1$, media $\mu_1$ y desviación estándar $\sigma_1$, y una segunda muestra aleatoria simple de la población 2 de tamaño $n_2$, media $\mu_2$ y desviación estándar $\sigma_2$. Si las distribuciones de las poblaciones 1 y 2 son normales o si tanto $n_1$ como $n_2$ son mayores que 30, entonces la distribución muestral de la diferencia de medias, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$, también es normal. La media de la distribución muestral de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ es $\mu_1 - \mu_2$. La desviación estándar de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ es $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$.
• UNC-4.V.2 El procedimiento de intervalo de confianza apropiado para una variable cuantitativa con dos muestras independientes es un intervalo $t$ de dos muestras para la diferencia entre las medias poblacionales.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.W: Verificar las condiciones para calcular intervalos de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 4.C]

• UNC-4.W.1 Para calcular intervalos de confianza que estimen una diferencia de medias poblacionales, debemos verificar la independencia y que la distribución muestral sea aproximadamente normal:
  • a. Para verificar la independencia:
    • i. Los datos deben recolectarse utilizando dos muestras aleatorias e independientes o un experimento aleatorizado.
    • ii. Cuando se muestree sin reemplazo, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ y $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Para verificar que la distribución muestral de $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ sea aproximadamente normal (forma):
    • i. Si las distribuciones observadas están sesgadas, tanto $n_1$ como $n_2$ deben ser mayores que 30.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.X: Determinar el margen de error para la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 3.D]

• UNC-4.X.1 Para la diferencia de dos medias muestrales, el margen de error es igual al valor crítico ($t^*$) multiplicado por el error estándar ($SE$) de la diferencia de las dos medias.
• UNC-4.X.2 El error estándar para la diferencia en dos medias muestrales con desviaciones estándar muestrales, $s_1$ y $s_2$, es $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.Y: Calcular un intervalo de confianza apropiado para la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 3.D]

• UNC-4.Y.1 La estimación puntual para la diferencia de dos medias poblacionales es la diferencia en las medias muestrales, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$.
• UNC-4.Y.2 Para la diferencia de dos medias poblacionales donde las desviaciones estándar poblacionales no son conocidas, el intervalo de confianza es $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$, donde $\pm t^*$ son los valores críticos para el C% central de una distribución $t$ con los grados de libertad apropiados, los cuales pueden encontrarse utilizando tecnología.

Afirmación sobre límites: Las fórmulas para estimaciones de intervalo no aparecen explícitamente en la Hoja de Fórmulas del Examen AP Estadísticas proporcionada con el examen. Sin embargo, estas fórmulas no necesitan memorizarse, ya que pueden construirse basándose en la fórmula general de la estadística de prueba y las fórmulas relevantes de error estándar que se proporcionan en la hoja de fórmulas.

Comprensión duradera (UNC-4): Se debe utilizar un intervalo de valores para estimar parámetros, con el fin de tener en cuenta la incertidumbre.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.Z: Interpretar un intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales. [Habilidad 4.B]

• UNC-4.Z.1 En muestreo aleatorio repetido con el mismo tamaño de muestra, aproximadamente C% de los intervalos de confianza creados capturarán la diferencia de las medias poblacionales.
• UNC-4.Z.2 Una interpretación para un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales debe incluir una referencia a las muestras tomadas y detalles sobre las poblaciones que representan.
  • Ejemplos ilustrativos para UNC-4.Z.2: Para interpretar un intervalo de confianza para una diferencia entre los tiempos medios de respuesta de dos estaciones de bomberos (norte - sur): "Basado en estas muestras, se puede estar 95 por ciento seguro de que la diferencia en los tiempos medios de respuesta de la población (norte - sur) está entre -2.37 minutos y 0.37 minutos" (Pregunta de Respuesta Libre 2009, Pregunta 4).

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AA: Justificar una afirmación basada en un intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales. [Habilidad 4.D]

• UNC-4.AA.1 Un intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales proporciona un intervalo de valores que puede ofrecer evidencia suficiente para respaldar una afirmación particular en contexto.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AB: Identificar los efectos del tamaño de la muestra en el ancho de un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias. [Habilidad 4.A]

• UNC-4.AB.1 Cuando todas las demás cosas permanecen iguales, el ancho del intervalo de confianza para la diferencia de dos tiende a disminuir a medida que aumentan los tamaños de muestra.

Comprensión Duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de Aprendizaje VAR-7.F: Identificar una selección adecuada del método de prueba para la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 1.E]

• VAR-7.F.1 Para una variable cuantitativa, la prueba adecuada para la diferencia de dos medias poblacionales es una prueba $t$ de dos muestras para la diferencia de dos medias poblacionales.

Objetivo de Aprendizaje VAR-7.G: Identificar las hipótesis nula y alternativa para la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 1.F]

• VAR-7.G.1 La hipótesis nula para una prueba $t$ de dos muestras para la diferencia de dos medias poblacionales, $\mu_1$ y $\mu_2$, es: $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, o $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. La hipótesis alternativa es $H_a : \mu_1 - \mu_2 < 0$, o $H_a : \mu_1 - \mu_2 > 0$, o $H_a : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$, o $H_a : \mu_1 > \mu_2$, o $H_a : \mu_1 < \mu_2$, o $H_a : \mu_1 \neq \mu_2$.

Objetivo de Aprendizaje VAR-7.H: Verificar las condiciones para la prueba de significancia de la diferencia de dos medias poblacionales. [Habilidad 4.C]

• VAR-7.H.1 Para realizar inferencias estadísticas al probar una diferencia entre las medias poblacionales, debemos verificar la independencia y que la distribución muestral sea aproximadamente normal:
  • a. Las observaciones individuales deben ser independientes:
    • i. Los datos deben recolectarse utilizando muestreo aleatorio simple o un experimento aleatorizado.
    • ii. Al muestrear sin reemplazo, verifique que $n_1 \leq 10\%N_1$ y $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. La distribución muestral de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ debe ser aproximadamente normal (forma).
    • i. Si la distribución observada está sesgada, tanto $n_1$ como $n_2$ deben ser mayores a 30.
    • ii. Si el tamaño de la muestra es menor a 30, la distribución de los datos muestrales debe estar exenta de fuerte sesgo y valores atípicos. Esto debe verificarse para AMBAS muestras.

Comprensión duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar variaciones.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.I: Calcular un estadístico de prueba apropiado para una diferencia de dos medias. [Habilidad 3.E]

• VAR-7.I.1 Para una variable cuantitativa única, los datos recolectados mediante muestras aleatorias independientes o un experimento aleatorizado de dos poblaciones, cada una de las cuales puede modelarse con una distribución normal, la distribución muestral de $t = \dfrac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$ es una aproximación a la distribución $t$ con grados de libertad que pueden determinarse utilizando tecnología. Los grados de libertad se encuentran entre el menor de $n_1 - 1$ y $n_2 - 1$, y $n_1 + n_2 - 2$.
• Ejemplos ilustrativos para VAR-7.I.1: En un estudio que compara los tiempos medios de recuperación de dos procedimientos quirúrgicos para reparar un ligamento cruzado anterior (LCA) desgarrado, el grupo que recibió un procedimiento tenía un tamaño muestral de 110, mientras que el otro tenía un tamaño muestral de 100. Los grados de libertad están entre 100 (el menor de 110 y 100) y 208 (110 + 100 - 2), y pueden determinarse con tecnología. Si el estadístico de prueba es $t \approx 7.13$, el valor $p$ es el área por encima de 7.13 en una distribución $t$ con $df = 207.18$ (pregunta de respuesta libre 4 de 2018).

Declaración de límite: Las fórmulas para los estadísticos de prueba no aparecen explícitamente en la Hoja de Fórmulas del AP Statistics proporcionada con el Examen de Estadística AP. Sin embargo, estas fórmulas no necesitan memorizarse, ya que pueden construirse basándose en la fórmula general del estadístico de prueba y las fórmulas del error estándar para cada uno de los estadísticos de prueba relevantes que se proporcionan en la hoja de fórmulas.

Comprensión duradera (DAT-3): Las pruebas de significancia permiten tomar decisiones sobre hipótesis dentro de un contexto particular.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.G: Interpretar el valor-$p$ de una prueba de significancia para una diferencia de medias poblacionales. [Habilidad 4.B]

• DAT-3.G.1 Una interpretación del valor-$p$ de una prueba de significancia para una diferencia de dos medias poblacionales debe reconocer que el valor-$p$ se calcula asumiendo que la hipótesis nula es verdadera, es decir, asumiendo que las verdaderas medias poblacionales son iguales entre sí.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.H: Justificar una afirmación sobre la población basada en los resultados de una prueba de significancia para una diferencia de dos medias poblacionales en contexto. [Habilidad 4.E]

• DAT-3.H.1 Una decisión formal compara explícitamente el valor $p$ con la significación $\alpha$. Si el valor $p$ $\leq \alpha$, entonces se rechaza la hipótesis nula, $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, o $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. Si el valor $p$ $> \alpha$, entonces no se rechaza la hipótesis nula.
• DAT-3.H.2 Los resultados de una prueba de significancia para una prueba de dos muestras para una diferencia entre dos medias poblacionales pueden servir como razonamiento estadístico para respaldar la respuesta a una pregunta de investigación sobre las poblaciones que fueron muestreadas.

Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento de inferencia adecuado, una vez que los estudiantes disponen de una variedad de opciones. Se deben proporcionar oportunidades a los estudiantes para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la inferencia que involucra proporciones o medias.