Inferencia para datos cuantitativos: pendientes

Comprensión perdurable (VAR-1): Dado que la variación puede ser aleatoria o no, las conclusiones son inciertas.

Objetivo de aprendizaje VAR-1.K: Identificar preguntas sugeridas por la variación en los diagramas de dispersión. [Habilidad 1.A]

• VAR-1.K.1 La variación en la posición de los puntos respecto a una línea teórica puede ser aleatoria o no aleatoria.

Comprensión duradera (UNC-4): Se debe utilizar un intervalo de valores para estimar parámetros, con el fin de tener en cuenta la incertidumbre.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AC: Identificar un procedimiento de intervalo de confianza apropiado para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 1.D]

• UNC-4.AC.1 Considere una variable de respuesta, $y$, que está linealmente relacionada con una variable explicativa, $x$. Para una muestra aleatoria simple de $n$ observaciones, la línea de regresión muestral, $\hat{y} = a + bx$, es una estimación de la línea de regresión poblacional $\mu_y = \alpha + \beta x$. Para una observación particular, $(x_i, y_i)$, el residuo de la línea de regresión muestral, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, es una estimación de $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, la desviación de la variable de respuesta con respecto a la línea de regresión poblacional. Para todos los puntos $(x, y)$ en la población, la desviación estándar de todas las desviaciones de la variable de respuesta con respecto a la línea de regresión poblacional, $\sigma$, puede estimarse mediante la desviación estándar de los residuos de la línea de regresión muestral, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Nota: Esta fórmula utiliza $n-2$ en el denominador en lugar de $n-1$ porque se deben estimar dos parámetros, $\alpha$ y $\beta$, para obtener los valores predichos a partir de la línea de regresión por mínimos cuadrados).
• UNC-4.AC.2 Para una muestra aleatoria simple de $n$ observaciones, sea $b$ la pendiente de una línea de regresión muestral. Entonces, la media de la distribución muestral para $b$ es igual a la pendiente poblacional: $\mu_b = \beta$. La desviación estándar de la distribución muestral para $b$ es $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, donde $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
• UNC-4.AC.3 El intervalo de confianza apropiado para la pendiente de un modelo de regresión es un intervalo-$t$ para la pendiente.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AD: Verificar las condiciones para calcular intervalos de confianza para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.C]

• UNC-4.AD.1 Con el fin de calcular un intervalo de confianza para estimar la pendiente de una línea de regresión, debemos verificar lo siguiente:
  • a. La relación verdadera entre $x$ y $y$ es lineal. El análisis de residuos puede utilizarse para verificar la linealidad.
  • b. La desviación estándar para $y$, $\sigma_y$, no varía con $x$. El análisis de residuos puede utilizarse para comprobar desviaciones estándar aproximadamente iguales para todos los $x$.
  • c. Para verificar la independencia:
    • i. Los datos deben recopilarse utilizando una muestra aleatoria o un experimento aleatorizado.
    • ii. Al muestrear sin reemplazo, verifique que $n \le 10\% N$.
  • d. Para un valor particular de $x$, las respuestas (valores $y$) siguen aproximadamente una distribución normal. El análisis de representaciones gráficas de residuos puede utilizarse para verificar la normalidad.
    • i. Si la distribución observada es sesgada, $n$ debe ser mayor que 30.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AE: Determinar el margen de error dado para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 3.D]

• UNC-4.AE.1 Para la pendiente de una línea de regresión, el margen de error es el valor crítico $\left(t^*\right)$ multiplicado por el error estándar ($SE$) de la pendiente.
• UNC-4.AE.2 El error estándar para la pendiente de una línea de regresión con desviación estándar muestral, $s$, es $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, donde $s$ es la estimación de $\sigma$ y $s_x$ es la desviación estándar muestral de los valores $x$.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AF: Calcular un intervalo de confianza apropiado para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 3.D]

• UNC-4.AF.1 La estimación puntual para la pendiente de un modelo de regresión es la pendiente de la línea de mejor ajuste, $b$.
• UNC-4.AF.2 Para la pendiente de un modelo de regresión, la estimación por intervalo es $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.

Comprensión perdurable (UNC-4): Se debe utilizar un intervalo de valores para estimar parámetros, con el fin de tener en cuenta la incertidumbre.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AG: Interpretar un intervalo de confianza para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.B]

• UNC-4.AG.1 En muestreo aleatorio repetido con el mismo tamaño de muestra, aproximadamente C% de los intervalos de confianza creados capturarán la pendiente del modelo de regresión, es decir, la verdadera pendiente del modelo de regresión poblacional.
• UNC-4.AG.2 Una interpretación para un intervalo de confianza para la pendiente de una recta de regresión debe incluir una referencia a la muestra tomada y detalles sobre la población que representa.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AH: Justificar una afirmación basada en un intervalo de confianza para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.D]

• UNC-4.AH.1 Un intervalo de confianza para la pendiente de un modelo de regresión proporciona un intervalo de valores que puede ofrecer evidencia suficiente para respaldar una afirmación particular en su contexto.

Objetivo de aprendizaje UNC-4.AI: Identificar los efectos del tamaño de la muestra en el ancho de un intervalo de confianza para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.A]

• UNC-4.AI.1 Cuando todo lo demás se mantiene constante, el ancho del intervalo de confianza para la pendiente de un modelo de regresión tiende a disminuir a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Comprensión duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.J: Identificar la selección adecuada de un método de prueba para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 1.E]

• VAR-7.J.1 La prueba adecuada para la pendiente de un modelo de regresión es una prueba $t$ para una pendiente.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.K: Identificar las hipótesis nula y alternativa adecuadas para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 1.F]

• VAR-7.K.1 La hipótesis nula para una prueba $t$ para una pendiente es: $H_0 : \beta = \beta_0$, donde $\beta_0$ es el valor hipotético procedente de la hipótesis nula. La hipótesis alternativa es $H_0 : \beta < \beta_0$ o $H_0 : \beta > \beta_0$, o $H_0 : \beta \neq \beta_0$.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.L: Verificar las condiciones para la prueba de significancia de la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.C]

• VAR-7.L.1 Con el fin de realizar inferencias estadísticas al probar la pendiente de un modelo de regresión, debemos verificar lo siguiente:
  • a. La relación verdadera entre $x$ y $y$ es lineal. El análisis de los residuos puede utilizarse para verificar la linealidad.
  • b. La desviación estándar de $y$, $\sigma_y$, no varía con $x$. El análisis de los residuos puede utilizarse para comprobar desviaciones estándar aproximadamente iguales para todos los $x$.
  • c. Para verificar la independencia:
    • i. Los datos deben recopilarse mediante una muestra aleatoria o un experimento aleatorizado.
    • ii. Cuando se muestrea sin reemplazo, verifique que $n \le 10\% N$.
  • d. Para un valor particular de $x$, las respuestas (valores $y$) están distribuidas aproximadamente de forma normal. El análisis de representaciones gráficas de los residuos puede utilizarse para comprobar la normalidad.
    • i. Si la distribución observada está sesgada, $n$ debe ser mayor que 30.
    • ii. Si el tamaño de la muestra es menor que 30, la distribución de los datos de la muestra debe estar libre de sesgo fuerte y valores atípicos.

Comprensión duradera (VAR-7): La distribución $t$ puede utilizarse para modelar la variación.

Objetivo de aprendizaje VAR-7.M: Calcular una estadística de prueba adecuada para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 3.E]

• VAR-7.M.1 La distribución de la pendiente de un modelo de regresión, asumiendo que se cumplen todas las condiciones y que la hipótesis nula es verdadera (distribución nula), es una distribución $t$.
• VAR-7.M.2 Para la regresión lineal simple, cuando se realiza un muestreo aleatorio de una población para la variable de respuesta que puede modelarse con una distribución normal para cada valor de la variable explicativa, la distribución muestral de $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ tiene una distribución $t$ con grados de libertad iguales a $n - 2$. Al realizar la prueba de la pendiente en un modelo de regresión lineal simple con un parámetro, la pendiente, la prueba de la pendiente tiene $df = n - 1$.

Comprensión duradera (DAT-3): El contraste de significación nos permite tomar decisiones sobre las hipótesis dentro de un contexto determinado.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.M: Interpretar el valor $p$ de un contraste de significación para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.B]

• DAT-3.M.1 Una interpretación del valor $p$ de un contraste de significación para la pendiente de un modelo de regresión debe reconocer que el valor $p$ se calcula asumiendo que la hipótesis nula es verdadera, es decir, asumiendo que la pendiente poblacional verdadera es igual al valor concreto indicado en la hipótesis nula.

Objetivo de aprendizaje DAT-3.N: Justificar una afirmación sobre la población basada en los resultados de un contraste de significación para la pendiente de un modelo de regresión. [Habilidad 4.E]

• DAT-3.N.1 Una decisión formal compara explícitamente el valor $p$ con el nivel de significación $\alpha$. Si el valor $p$ $\le \alpha$, entonces se rechaza la hipótesis nula, $H_0 : \beta = \beta_0$. Si el valor $p$ $> \alpha$, entonces no se rechaza la hipótesis nula.
• DAT-3.N.2 Los resultados de un contraste de significación para la pendiente de un modelo de regresión pueden servir como razonamiento estadístico para respaldar la respuesta a una pregunta de investigación sobre esa muestra.

Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento de inferencia adecuado, una vez que los estudiantes han adquirido un abanico de opciones. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la inferencia.