Funciones Polinómicas y Racionales

Objetivo de aprendizaje 1.1.A: Describir cómo varían conjuntamente los valores de entrada y salida de una función al comparar sus valores.

• 1.1.A.1 Una función es una relación matemática que asigna un conjunto de valores de entrada a un conjunto de valores de salida, de modo que cada valor de entrada se asigna exactamente a un único valor de salida. El conjunto de valores de entrada se denomina dominio de la función, y el conjunto de valores de salida se denomina rango de la función. La variable que representa los valores de entrada se llama variable independiente, y la variable que representa los valores de salida se llama variable dependiente.
• 1.1.A.2 Los valores de entrada y salida de una función varían en tandem según la regla de la función, la cual puede expresarse gráficamente, numéricamente, analíticamente o verbalmente.
• 1.1.A.3 Una función es creciente sobre un intervalo de su dominio si, a medida que aumentan los valores de entrada, los valores de salida siempre aumentan. Es decir, para todo $a$ y $b$ en el intervalo, si $a < b$, entonces $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Una función es decreciente sobre un intervalo de su dominio si, a medida que aumentan los valores de entrada, los valores de salida siempre disminuyen. Es decir, para todo $a$ y $b$ en el intervalo, si $a < b$, entonces $f(a) > f(b)$.

Objetivo de aprendizaje 1.1.B: Construir una gráfica que represente dos cantidades que varían entre sí en un contexto situacional.

• 1.1.B.1 La gráfica de una función muestra un conjunto de pares de entrada-salida e ilustra cómo varían los valores de entrada y salida de la función.
• 1.1.B.2 Una descripción verbal de la manera en que cambian conjuntamente ciertos aspectos de un fenómeno puede servir como base para construir una gráfica.
• 1.1.B.3 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en intervalos donde la tasa de cambio es creciente.
• 1.1.B.4 La gráfica de una función es cóncava hacia abajo en intervalos donde la tasa de cambio es decreciente.
• 1.1.B.5 La gráfica intersecta el eje $x$ cuando el valor de salida es cero. Los valores de entrada correspondientes se denominan ceros de la función.

Objetivo de Aprendizaje 1.2.A: Comparar las tasas de cambio en dos puntos utilizando tasas de cambio promedio cercanas a los puntos.

• 1.2.A.1 La tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo del dominio de la función es la tasa de cambio constante que produce el mismo cambio en los valores de salida que la función generó en ese intervalo del dominio de la función. Es la razón entre el cambio en los valores de salida y el cambio en los valores de entrada sobre dicho intervalo.
• 1.2.A.2 La tasa de cambio de una función en un punto cuantifica la velocidad a la que cambiarían los valores de salida si los valores de entrada cambiaran en ese punto. La tasa de cambio en un punto puede aproximarse mediante las tasas de cambio promedio de la función sobre intervalos pequeños que contienen el punto, si tales valores existen.
• 1.2.A.3 Las tasas de cambio en dos puntos pueden compararse utilizando aproximaciones de tasa de cambio promedio sobre intervalos lo suficientemente pequeños que contengan cada punto, si tales valores existen.

Objetivo de Aprendizaje 1.2.B: Describir cómo varían dos cantidades juntas en diferentes puntos e intervalos de una función.

• 1.2.B.1 Las tasas de cambio cuantifican cómo varían dos cantidades juntas.
• 1.2.B.2 Una tasa de cambio positiva indica que, al aumentar o disminuir una cantidad, la otra cantidad hace lo mismo.
• 1.2.B.3 Una tasa de cambio negativa indica que, al aumentar una cantidad, la otra disminuye.

Objetivo de aprendizaje 1.3.A: Determinar las tasas de cambio promedio para secuencias y funciones, incluyendo funciones lineales, cuadráticas y otros tipos de funciones.

• 1.3.A.1 Para una función lineal, la tasa de cambio promedio sobre cualquier intervalo de valores de entrada de longitud dada es constante.
• 1.3.A.2 Para una función cuadrática, las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función lineal.
• 1.3.A.3 La tasa de cambio promedio sobre el intervalo cerrado $[a, b]$ es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.

Objetivo de aprendizaje 1.3.B: Determinar el cambio en las tasas de cambio promedio para funciones lineales, cuadráticas y otros tipos de funciones.

• 1.3.B.1 Para una función lineal, dado que las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función constante, estas tasas de cambio promedio para una función lineal están cambiando a una tasa de cero.
• 1.3.B.2 Para una función cuadrática, dado que las tasas de cambio promedio sobre intervalos consecutivos de igual longitud de valores de entrada pueden ser dadas por una función lineal, estas tasas de cambio promedio para una función cuadrática están cambiando a una tasa constante.
• 1.3.B.3 Cuando la tasa de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada es creciente para todos los intervalos de pequeña longitud, la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. Cuando la tasa de cambio promedio sobre intervalos de igual longitud de valores de entrada es decreciente para todos los intervalos de pequeña longitud, la gráfica de la función es cóncava hacia abajo.

Objetivo de Aprendizaje 1.4.A: Identificar características clave de las funciones polinómicas relacionadas con las tasas de cambio.

• 1.4.A.1 Una función polinómica no constante en $x$ es cualquier representación funcional equivalente a la forma analítica $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, donde $n$ es un entero positivo, $a_i$ es un número real para cada $i$ desde $1$ hasta $n$, y $a_n$ es distinto de cero. El polinomio tiene grado $n$, el término principal es $a_n x^n$, y el coeficiente principal es $a_n$. Una constante también es una función polinómica de grado cero.
• 1.4.A.2 Donde una función polinómica cambia entre ser creciente y decreciente, o en el punto extremo incluido de un polinomio con dominio restringido, la función polinómica tendrá un valor de salida máximo o mínimo local, o relativo. De todos los máximos locales, el mayor se denomina global, o absoluto, máximo. De igual manera, el menor de todos los mínimos locales se denomina global, o absoluto, mínimo.
• 1.4.A.3 Entre cada dos ceros reales distintos de una función polinómica no constante, debe haber al menos un valor de entrada correspondiente a un máximo local o mínimo local.
• 1.4.A.4 Las funciones polinómicas de grado par tendrán ya sea un máximo global o un mínimo global.
• 1.4.A.5 Los puntos de inflexión de una función polinómica ocurren en valores de entrada donde la tasa de cambio de la función pasa de ser creciente a decreciente, o de decreciente a creciente. Esto sucede donde la gráfica de una función polinómica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Objetivo de aprendizaje 1.5.A: Identificar las características clave de una función polinómica relacionadas con sus ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas o de tecnología.

• 1.5.A.1 Si $a$ es un número complejo y $p(a) = 0$, entonces $a$ se denomina cero de la función polinómica $p$, o una raíz de $p(x) = 0$. Si $a$ es un número real, entonces $(x - a)$ es un factor lineal de $p$ si y solo si $a$ es un cero de $p$.
• 1.5.A.2 Si un factor lineal $(x - a)$ se repite $n$ veces, el cero correspondiente de la función polinómica tiene una multiplicidad $n$. Una función polinómica de grado $n$ tiene exactamente $n$ ceros complejos al contar las multiplicidades.
• 1.5.A.3 Si $a$ es un cero real de una función polinómica $p$, entonces la gráfica de $y = p(x)$ tiene una intersección con el eje $x$ en el punto $(a, 0)$. En consecuencia, los ceros reales de un polinomio pueden servir como extremos para intervalos que satisfagan desigualdades polinómicas.
• 1.5.A.4 Si $a + bi$ es un cero no real de una función polinómica $p$, entonces su conjugado $a - bi$ también es un cero de $p$.
• 1.5.A.5 Si el cero real $a$ de una función polinómica tiene multiplicidad par, entonces los signos de los valores de salida son los mismos para valores de entrada cercanos a $x = a$. Para estas funciones polinómicas, la gráfica será tangente al eje $x$ en $x = a$.
• 1.5.A.6 El grado de una función polinómica puede determinarse examinando las diferencias sucesivas de los valores de salida sobre valores de entrada de intervalo igual. El grado de la función polinómica es igual al menor valor $n$ para el cual las diferencias sucesivas $n$-ésimas son constantes.

Objetivo de aprendizaje 1.5.B: Determinar si una función polinómica es par o impar.

• 1.5.B.1 Una función par es simétrica gráficamente respecto a la recta $x = 0$ y analíticamente posee la propiedad $f(-x) = f(x)$. Si $n$ es par, entonces un polinomio de la forma $p(x) = a_n x^n$, donde $n \geq 1$ y $a_n \neq 0$, es una función par.
• 1.5.B.2 Una función impar es simétrica gráficamente respecto al punto $(0, 0)$ y analíticamente posee la propiedad $f(-x) = -f(x)$. Si $n$ es impar, entonces un polinomio de la forma $p(x) = a_n x^n$, donde $n \geq 1$ y $a_n \neq 0$, es una función impar.

Objetivo de aprendizaje 1.6.A: Describir el comportamiento en los extremos de las funciones polinómicas.

• 1.6.A.1 A medida que los valores de entrada de una función polinómica no constante aumentan sin límite, los valores de salida también aumentarán o disminuirán sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ o $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 A medida que los valores de entrada de una función polinómica no constante disminuyen sin límite, los valores de salida también aumentarán o disminuirán sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ o $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 El grado y el signo del término líder de un polinomio determinan el comportamiento en los extremos de la función polinómica, ya que a medida que los valores de entrada aumentan o disminuyen sin límite, los valores del término líder dominan los valores de todos los términos de menor grado.

Objetivo de aprendizaje 1.7.A: Describir el comportamiento asintótico de las funciones racionales.

• 1.7.A.1 Una función racional se representa analíticamente como un cociente de dos funciones polinómicas y proporciona una medida del tamaño relativo de la función polinómica en el numerador en comparación con la función polinómica en el denominador para cada valor dentro del dominio de la función racional.
• 1.7.A.2 El comportamiento asintótico de una función racional se verá afectado principalmente por el polinomio con mayor grado, ya que sus valores dominarán los valores de la función racional para valores de entrada de gran magnitud. Para valores de entrada de gran magnitud, un polinomio está dominado por su término principal. Por lo tanto, el comportamiento asintótico de una función racional puede entenderse examinando el cociente correspondiente de los términos principales.
• 1.7.A.3 Si el polinomio en el numerador domina al polinomio en el denominador para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es un polinomio no constante, y la función racional original tiene el comportamiento asintótico de ese polinomio. Si ese polinomio es lineal, entonces la gráfica de la función racional tiene una asíntota oblicua paralela a la gráfica de la recta.
• 1.7.A.4 Si ninguno de los polinomios en una función racional domina al otro para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es una constante, y esa constante indica la ubicación de una asíntota horizontal de la gráfica de la función racional original.
• 1.7.A.5 Si el polinomio en el denominador domina al polinomio en el numerador para valores de entrada de gran magnitud, entonces el cociente de los términos principales es una función racional con una constante en el numerador y un polinomio no constante en el denominador, y la gráfica de la función racional original tiene una asíntota horizontal en $y = 0$.
• 1.7.A.6 Cuando la gráfica de una función racional $r$ tiene una asíntota horizontal en $y = b$, donde $b$ es una constante, los valores de salida de la función racional se acercan arbitrariamente a $b$ y permanecen arbitrariamente cerca de $b$ a medida que los valores de entrada aumentan o disminuyen sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ o $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Objetivo de Aprendizaje 1.8.A: Determinar los ceros de las funciones racionales.

• 1.8.A.1 Los ceros reales de una función racional corresponden a los ceros reales del numerador para aquellos valores que pertenecen a su dominio.
• 1.8.A.2 Los ceros reales tanto de la función polinomial como de la función racional $r$ son extremos o asíntotas para intervalos que satisfacen las inecuaciones de la función racional $r(x) \geq 0$ o $r(x) \leq 0$.

Objetivo de Aprendizaje 1.9.A: Determinar las asíntotas verticales de las gráficas de funciones racionales.

• 1.9.A.1 Si el valor $a$ es una raíz real de la función polinomial en el denominador de una función racional y no es también una raíz real de la función polinomial en el numerador, entonces la gráfica de la función racional tiene una asíntota vertical en $x = a$. Además, se produce una asíntota vertical en $x = a$ si la multiplicidad de $a$ como raíz real en el denominador es mayor que su multiplicidad como raíz real en el numerador.
• 1.9.A.2 Cerca de una asíntota vertical, $x = a$, de una función racional, los valores de la función polinomial en el denominador son arbitrariamente cercanos a cero, por lo que los valores de la función racional $r$ aumentan o disminuyen sin límite. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ o $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ para valores de entrada cerca de $a$ y mayores que $a$, y $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ o $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ para valores de entrada cerca de $a$ y menores que $a$.

Objetivo de Aprendizaje 1.10.A: Determinar agujeros en las gráficas de funciones racionales.

• 1.10.A.1 Si la multiplicidad de una raíz real en el numerador es mayor o igual que su multiplicidad en el denominador, entonces la gráfica de la función racional tiene un agujero en el valor de entrada correspondiente.
• 1.10.A.2 Si la gráfica de una función racional $r$ tiene un agujero en $x = c$, la ubicación del agujero se puede determinar examinando los valores de salida correspondientes a valores de entrada suficientemente cercanos a $c$. Si los valores de entrada suficientemente cercanos a $c$ corresponden a valores de salida arbitrariamente cercanos a $L$, entonces el agujero se encuentra en el punto con coordenadas $(c, L)$. La notación matemática correspondiente es $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Debe notarse que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Objetivo de aprendizaje 1.11.A: Reescribir expresiones polinómicas y racionales en formas equivalentes.

• 1.11.A.1 Dado que la forma factorizada de un polinomio o función racional proporciona fácilmente información sobre los ceros reales, puede revelar información sobre las intersecciones con el eje $x$, asíintotas, huecos, dominio y rango.
• 1.11.A.2 La forma estándar de un polinomio o función racional puede revelar información sobre el comportamiento extremo de la función.
• 1.11.A.3 La información extraída de diferentes representaciones analíticas del mismo polinomio o función racional se puede utilizar para responder preguntas en contexto.

Objetivo de aprendizaje 1.11.B: Determinar el cociente de dos funciones polinómicas mediante división larga.

• 1.11.B.1 La división larga de polinomios es un proceso algebraico similar a la división larga numérica que involucra un cociente y un residuo. Si el polinomio $f$ se divide por el polinomio $g$, entonces $f$ puede reescribirse como $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, donde $q$ es el cociente, $r$ es el residuo y el grado de $r$ es menor que el grado de $g$.
• 1.11.B.2 El resultado de la división larga de polinomios resulta útil para encontrar ecuaciones de asíntotas oblicuas para las gráficas de funciones racionales.

Objetivo de aprendizaje 1.11.C: Reescribir el producto repetido de binomios utilizando el teorema del binomio.

• 1.11.C.1 El teorema del binomio utiliza las entradas de una sola fila del Triángulo de Pascal para expandir más fácilmente expresiones de la forma $(a + b)^n$, incluidas funciones polinómicas de la forma $p(x) = (x + c)^n$, donde $c$ es una constante.

Objetivo de aprendizaje 1.12.A: Construir una función que sea una transformación aditiva y/o multiplicativa de otra función.

• 1.12.A.1 La función $g(x) = f(x) + k$ es una transformación aditiva de la función $f$ que resulta en una traslación vertical de la gráfica de $f$ en $k$ unidades.
• 1.12.A.2 La función $g(x) = f(x + h)$ es una transformación aditiva de la función $f$ que resulta en una traslación horizontal de la gráfica de $f$ en $-h$ unidades.
• 1.12.A.3 La función $g(x) = a f(x)$, donde $a \neq 0$, es una transformación multiplicativa de la función $f$ que resulta en una dilatación vertical de la gráfica de $f$ por un factor de $|a|$. Si $a < 0$, la transformación implica una reflexión respecto al eje $x$.
• 1.12.A.4 La función $g(x) = f(bx)$, donde $b \neq 0$, es una transformación multiplicativa de la función $f$ que resulta en una dilatación horizontal de la gráfica de $f$ por un factor de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Si $b < 0$, la transformación implica una reflexión respecto al eje $y$.
• 1.12.A.5 Las transformaciones aditivas y multiplicativas pueden combinarse, resultando en combinaciones de traslaciones horizontales y verticales, así como dilataciones.
• 1.12.A.6 El dominio y el rango de una función que es una transformación de una función padre pueden ser diferentes de los de la función padre.

Objetivo de Aprendizaje 1.13.A: Identificar un tipo de función apropiado para construir un modelo funcional para un escenario dado.

• 1.13.A.1 Las funciones lineales modelan conjuntos de datos o aspectos de escenarios contextuales que muestran tasas de cambio aproximadamente constantes.
• 1.13.A.2 Las funciones cuadráticas modelan conjuntos de datos o aspectos de escenarios contextuales que muestran tasas de cambio aproximadamente lineales, o conjuntos de datos que son aproximadamente simétricos con un valor máximo o mínimo único.
• 1.13.A.3 Los contextos geométricos que involucran área o dos dimensiones pueden modelarse a menudo mediante funciones cuadráticas. Los contextos geométricos que involucran volumen o tres dimensiones pueden modelarse a menudo mediante funciones cúbicas.
• 1.13.A.4 Las funciones polinómicas modelan conjuntos de datos o escenarios contextuales con múltiples raíces reales o múltiples máximos o mínimos.
• 1.13.A.5 Una función polinómica de grado $n$ modela conjuntos de datos o escenarios contextuales que muestran diferencias $n$-ésimas aproximadamente constantes y no nulas.
• 1.13.A.6 Una función polinómica de grado $n$ o menor puede utilizarse para modelar una gráfica de $n + 1$ puntos con valores de entrada distintos.
• 1.13.A.7 Una función definida por partes consiste en un conjunto de funciones definidas sobre intervalos de dominio no superpuestos y es útil para modelar un conjunto de datos o un escenario contextual que demuestra diferentes características en diferentes intervalos.

Objetivo de Aprendizaje 1.13.B: Describir supuestos y restricciones relacionados con la construcción de un modelo funcional.

• 1.13.B.1 Un modelo puede tener supuestos subyacentes sobre qué elementos son consistentes dentro del modelo.
• 1.13.B.2 Un modelo puede tener supuestos subyacentes sobre cómo cambian las cantidades entre sí.
• 1.13.B.3 Un modelo puede requerir restricciones del dominio basadas en pistas matemáticas, pistas contextuales o valores extremos en el conjunto de datos.
• 1.13.B.4 Un modelo puede requerir restricciones del rango, como redondear valores, basadas en pistas matemáticas, pistas contextuales o valores extremos en el conjunto de datos.

Objetivo de aprendizaje 1.14.A: Construir un modelo basado en una función lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, polinómica de grado $n$ o una función definida a trozos relacionada.

• 1.14.A.1 Un modelo puede construirse basándose en restricciones identificadas en un escenario matemático o contextual.
• 1.14.A.2 Un modelo de un conjunto de datos o de un escenario contextual puede construirse utilizando transformaciones de la función padre.
• 1.14.A.3 Un modelo de un conjunto de datos puede construirse utilizando tecnología y regresiones, incluyendo regresiones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
• 1.14.A.4 Un modelo basado en una función definida a trozos puede construirse mediante una combinación de técnicas de modelado.

Objetivo de aprendizaje 1.14.B: Construir un modelo basado en una función racional según un contexto.

• 1.14.B.1 Los conjuntos de datos y los aspectos de escenarios contextuales que involucran cantidades inversamente proporcionales pueden modelarse frecuentemente con funciones racionales. Por ejemplo, las magnitudes tanto de la fuerza gravitacional como de la fuerza electromagnética entre objetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre dichos objetos.

Objetivo de aprendizaje 1.14.C: Aplicar un modelo funcional para responder preguntas sobre un conjunto de datos o un escenario contextual.

• 1.14.C.1 Se puede utilizar un modelo para extraer conclusiones sobre el conjunto de datos modelado o el escenario contextual, incluyendo responder preguntas clave y predecir valores, tasas de cambio, tasas de cambio promedio y tasas de cambio de las tasas de cambio. Deben extraerse o inferirse unidades de medida apropiadas del contexto dado.