هندسة المتجهات
| English | العربية |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | متساوي الاستقامة |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | متجه الموضع |
| parallel/ˈpærəlel/ | التوازي |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | منتصف |
إثبات استقامة النقاط
- كيف تثبت أن ثلاث نقاط مستقيمة (تقع على نفس الخط)؟
- أظهر أن المتجه من الأول إلى الثاني هو ضرب قياسي للمتجه من الثاني إلى الثالث.
المتجهات الموضعية و$\overrightarrow{AB}$
- المتجه الموضعي للنقطة هو المتجه من نقطة الأصل $O$ إليها.
- المتجه من $A$ إلى $B$:
إذا $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ و$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$، فإن $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
هندسة المتجهات
القوة المحصلة = a + b
اجمع المتجهات للوصول إلى نقطة — المحصلة هي المسار المباشر.
إذا كانت a و b هما متجهان موقعان للنقطتين A و B، فإن المتجه AB هو:
AB = (موقع B) − (موقع A) = b − a.
A لها متجه موقع (1, 3) و B لها متجه موقع (4, 7). ما المكوّن العلوي لـ AB؟
AB = b − a: العلوي = 4 − 1 = 3.
المتجهات المتوازية والنقاط المستقيمة
- متجهان متوازيان إذا كان أحدهما ضرباً قياسياً للآخر: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- ثلاث نقاط $A, B, C$ مستقيمة إذا كانت $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{BC}$ متوازية وتتشارك النقطة $B$.
التوازي وحده لا يكفي. يمكن أن يكون متجهان متوازيين دون أن تكون النقاط مستقيمة — قد تكونا على خطين متوازيين منفصلين. تحتاج أيضاً إلى نقطة مشتركة.
متجهان متوازيان إذا كان أحدهما مضاعفاً عددياً للآخر.
المتجهات المتوازية تتجه نحو نفس الاتجاه (أو العكس)، لذا أحدهما يساوي k مرة الآخر.
لإثبات أن ثلاث نقاط مستقيمة، أثبت أن المتجهات بينها ______ وتشترك في نقطة.
النقاط المستقيمة لها متجهات موازية بينها AND نقطة مشتركة.
منتصف القطعة
- $M$ هي منتصف $AB$، حيث $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ و$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- متجه الموضع للمنتصف هو متوسط النقطتين الأخيرتين.
مقدار المتجه العمودي يُحسب باستخدام نظرية فيثاغورس
M هي منتصف AB. متجه الموقع OM هو:
OM = a + ½(b − a) = ½(a + b).
A = (2, 4) و B = (8, 10). ما الإحداثي السيني للمنتصف M؟
½(2 + 8) = 5.
لماذا المتجهات مهمة
- ألعاب الفيديو ومحركات الفيزياء ونظام تحديد المواقع تستخدم جميعها رياضيات المتجهات لتتبع positions والحركات.
المتجهات الموضعية تحدد نقاطاً على الشبكة — وهي الأساس لإثبات استقامية النقاط وإيجاد منتصف القطعة.
إثبات متجهي كامل
- إذا كان $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$، و$\overrightarrow{OB}=\mathbf b$، وM هو منتصف AB، فإن $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$.
- عرّف C بواسطة $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. إذن $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. المتجهات المتساوية تشارك الاتجاه وتتقابل عند B، لذا فإن A وB وC على استقامة واحدة وB هو منتصف AC (لـA وB مختلفتين).
A = (1,3)، B = (4,7) و OC = 2OB − OA. أوجد الإحداثي السيني لنقطة C.
C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
لقد فهمت الأمر
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (النهاية ناقص البداية)
- المتجهات الموازية هي مضاعفات عددية؛ بهذه الطريقة تُثبت أن النقاط مستقيمة
- منتصف $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$