تطبيق التفاضل والتكامل
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | التحسين |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | القيود |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | معدلات التغير المرتبطة |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | المساحة بين منحنيين |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | التكلفة الحدية |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | الإيراد الحدي |
حجم ثابت يقيد التصميم
- نموذج تعليمي أسطواني مغلق يحتوي على 500 سنتيمتر مكعب، مع قمم وقاع مسطحين وبدون احتساب لحواف اللحام. لا يمكن اختيار نصف قطره وارتفاعه بشكل مستقل.
- الأمثالية تبحث عن حد أقصى أو أدنى مطلوب ضمن مجال ممكن محدد؛ الافتراضات الفيزيائية جزء من النموذج.
قلل المتغيرات وقارن المرشحين
- استخدم القيد لتعبير الهدف بدالة متغير واحد. للأسطوانة المغلقة، $h=500/(\pi r^2)$ و$A(r)=2\pi r^2+1000/r$، مع $r>0$.
- تفاضل لإيجاد المرشحين الثابتين، ثم برّص التصنيف وتحقق من الحدود المطبقة. بالنسبة للاختيارات الصحيحة، قارن الأعداد الصحيحة الممكنة المجاورة بدلاً من اعتبار الأمثالية الكسرية إجابة مسموحة.
رتّب خطوات سؤال التحسين (التحسين الأمثل) في الترتيب الصحيح.
صوّغ الهدف والمجال الممكن، استخدم القيد حيثما لزم الأمر، أوجد الترشيحات الثابتة، وقارن التصنيف والحدود وأي قيود منفصلة.
أدنى قيمة لأسطوانة مغلقة. $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$ يعطي $r^3=250/\pi$، وبالتالي $r\approx4.30$ سم. بما أن $A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$ لنصف القطر الموجب وA ينمو بلا حدود عند كلا الطرفين، فهذه هي الأمثالية العالمية لنموذج الاستمرارية المذكور. يعطي قيد الحجم بعد ذلك $h=2r$.
أسطوانة مغلقة ذات قاع وسقف مسطح يجب أن تستوعب 500 سم³. بتجاهال الوصلات، أوجد نصف القطر الذي يُقلل مساحة السطح لنصف قطر موجب، مقربًا إلى 2 خانات عشرية.
A(r) = 2πr² + 1000/r من أجل r > 0. مشتقتها تعطي r³ = 250/π، إذن r ≈ 4.30 سم. المشتقة الثانية الموجبة ومساحات الأطراف المتباعدة تبرران الحد الأدنى العالمي.
اربط المعدلات عبر اعتماد مُعرّف
- عندما $V=V(r)$ و$r=r(t)$، تُعطي قاعدة السلسلة $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$.
- تحتاج المعدلات المرتبطة إلى وحدات وقيم متوافقة عند اللحظة المطلوبة. تكامل معدل يعطي تغيراً متراكماً، بينما يحدد المبلغ الابتدائي المجموع النهائي.
يتمدد نصف قطر بالون بمعدل معلوم وتريد معرفة مدى سرعة نمو حجمه. ماذا تكتب أولاً؟
اكتب قاعدة السلسلة أولاً، ثم املأ كل عامل. هذا يحول السؤال إلى مشتقتين عاديتين.
المجالات والنماذج الهامشية لها حدود
- المجال بين منحنيين يستخدم الحد الأعلى ناقص الحد الأدنى فوق المنطقة المحددة. أوجد نقاط التقاطع للمناطق المحصورة واقسم عند تغيير الترتيب؛ قد توفر فترة محددة خارجياً بدلاً من ذلك الحدود.
- التكلفة الهامشية والإيراد الهامشي هما مشتقات لنماذج مستمرة. مساواتتهما يجدان مرشح ربح ثابت داخلي،仍需 التحقق من امكانيته وتصنيفه ومنافسي الحدود.
بالنسبة للمنطقة المنتهية المحصورة بين منحنيين متقاطعين، ماذا يجب أن تجد لتحديد حدود التكامل؟
أوجد التقاطعات المعنية، حدد أي المنحنيين أعلى على كل فترة، وقسّم إذا تغير ترتيبهما. قد يوفر سؤال يحدد مجالاً خارجياً الحدود مباشرةً بدلاً من ذلك.
في نموذج تكلفة مستمر قابل للاشتقاق، التكلفة الهامشية هي مشتقة التكلفة الكلية.
إنه نموذج معدل لحظي. الزيادة الفعلية المنفصلة بمقدار وحدة واحدة هي فرق محدود وقد لا تساوي تلك المشتقة تماماً.
المشتقة ليست دائماً زيادة دقيقة بوحدة واحدة. لـ $C(q)=100+3q+0.2q^2$، $C'(10)=7$ ولكن $C(11)-C(10)=7.2$. الورقة 3.3 تقارن أيضاً الحد الأقصى المستمر عند 5.5 بأفضل الكميات الصحيحة 5 و6.
لقد وجدت r = 4.30 للعلبة. اكتب الجملة الإجابية الكاملة التي تريدها المصحح.
مثال: نصف القطر يقارب 4.30 سم، مما يُصغِّر مساحة السطح ضمن نموذج أسطوانة مغلقة بحجم محدد.
النقطة الثابتة وحدها لا تأسس الأمثالية العالمية. حدد المجال الممكن ولماذا لا يمكن للمرشحين الآخرين أو الحدود إعطاء قيمة أفضل. فتح حاوية مختلف أو احتساب لحواف اللحام أو قيد أبعاد عملي يمكن أن يغير النموذج.