المتجهات والحركة في بعدين.
| English | العربية |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | مكوّن |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | محصلة |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | قذيفة |
طائرة تطير شمال شرق — حركتان في واحدة
- سهم واحد يشير "شمال شرق"، لكن الطائرة تتحرك حقًا شرق وشمال في آنٍ واحد.
- شبه لا حركة حقيقية تكون أفقية–أفقية أو صاعدة–هابطة بحتة.
- خدعة الديناميكيات ثنائية الأبعاد: افصل كل متجه إلى أجزاء عمودية.
- تعامل مع الأجزاء منفصلة، ثم أعد دمجها.
التحليل إلى مركبات
- يمكن استبدال أي متجه بمكونين متعامدين — واحد على طول $x$، وواحد على طول $y$.
- معًا، المكونان لهما نفس تأثير المتجه الأصلي تمامًا.
- اختر محاور تجعل المسألة سهلة (غالبًا أفقية وعمودية).
- للمكونات إشارات، لذا "يسار" و"أسفل" هي قيم سالبة فقط.
صيغ المكونات
- للمتجه $\vec A$ الذي مقدار $A$ عند زاوية $\theta$ فوق محور $x$:
- $A_x = A\cos\theta$ و$A_y = A\sin\theta$.
- تأتي هذه مباشرة من المثلث القائم الذي يصنعه المتجه مع مكوناته.
- العودة: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ و$\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
سرعة مقدارها $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ تشير بزاوية $37^\circ$ فوق الأفقي. مركبتها الأفقية هي $10\cos 37^\circ$. مع زاوية $\cos 37^\circ = 0.8$، ما قيمة $v_x$ بوحدة $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$؟
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
للسرعة نفسها، المركبة الرأسية هي $10\sin 37^\circ$. مع زاوية $\sin 37^\circ = 0.6$، ما قيمة $v_y$ بوحدة $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$؟
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
للمتجه مكونات $A_x = 3$ و$A_y = 4$. ما مقداره؟
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. وليس $3+4=7$ — لأن المكونات عمودية على بعضها.
المركبة الأفقية للمتجه $A$ عند الزاوية $\theta$ هي $A$ ضرب $\theta$.
الضلع المجاور للمثلث القائم هو $A\cos\theta$، لذا $A_x = A\cos\theta$.
جمع المتجهات بالمكونات
- لجمع المتجهات، اجمع المكوّنات $x$ واجمع المكوّنات $y$ بشكل منفصل.
- لا تجمع المقادير مباشرة — هذا يعمل فقط إذا كانت تشير لنفس الاتجاه.
- المجاميع $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ هي مكونات الـمتجه المحصل.
- أعد الدمج باستخدام $\sqrt{\;}$ و$\tan^{-1}$ للحصول على مقداره واتجاهه.
اجمع متجهين بالمكونات.
اسحب متجهين وانظر إلى المحصلة — مكوناتها هي مجموع الأجزاء.
رتب الخطوات لإضافة متجهين باستخدام المكونات، الخطوة الأولى في الأعلى.
فكك، اجمع componente-wise، ثم أعد دمج المقدار والاتجاه.
الحركات العمودية مستقلة
- حركة $x$ وحركة $y$ تتطوران منفصلتين — لا يؤثر أحدهما على الآخر.
- الجاذبية تسحب فقط لأسفل، فتغير $v_y$ وتترك $v_x$ دون تغيير.
- هذه الاستقلالية هي سر الـحركة المقذوفة بالكامل (الموضوع 2).
- أسقط كرة وأطلق أخرى أفقيًا في نفس اللحظة: تهبطان معًا.
الأجزاء الأفقية والرأسية للحركة ثنائية الأبعاد مستقلة عن بعضها البعض.
المكونات العمودية تتطور بشكل منفصل — الجاذبية تغير $v_y$ لكن لا تغير $v_x$. هذا هو أساس حركة المقذوفات.
لا يمكنك جمع متجهين بإضافة مقاديرهما إلا إذا كانا على نفس الخط. متجه وحدة $3$ زائد متجه وحدة $4$ عمودي يعطي $5$، وليس $7$ — حلّل إلى مكونات (أو استخدم المثلث) أولاً.
حلّل سرعة مقدارها $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ موجهة بزاوية $37^\circ$ فوق الأفقي (استخدم $\cos 37^\circ \approx 0.8$، $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
تحقق: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
فك شارة 2-أبعادية إلى مركبات متعامدة: $A_x = A\cos\theta$، $A_y = A\sin\theta$. أضف المتجهات عن طريق جمع $x$-و$y$-المركبات بشكل منفصل، ثم أعد دمجها باستخدام $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. الحركات المتعامدة مستقلة — وهو المفتاح في المقذوفات.