دالة كسرية لتقسيمها
| English | العربية |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | الكسور الجزئية |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | العامل الخطي |
فك كسر صعب واحد إلى بسائط
- بعض الدوال الكسرية لا يمكن تكاملها مباشرة، لكن عند تقسيمها تصبح لوغاريتمات بسيطة.
- الكسور الجزئية تعيد كتابة كسر واحد على شكل مجموع لكسور أصغر.
- يحتوي كل جزء على عامل خطي واحد في مقامه — سهل التكامل كـ $\ln$.
- إنه عكس جمع الكسور فوق مقام مشترك.
إعداد التحلل
- ابدأ بدالة كسرية يكون مقامها قابل للتحليل إلى عوامل خطية مستقلة.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ للثوابت $A,B$ التي يجب إيجادها.
- لكل عامل خطي مستقل $(x-r)$ يحصل على حد خاص $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (يجب أن يكون درجة البسط أقل من درجة المقام — قسّم أولاً إذا لم يكن كذلك.)
دالة كسرية لفصلها
y = a / (x − b)
كسر بسطه $(x-1)(x+2)$ له مقاربان رأسيان؛ الكسور الجزئية تفصله إلى جزأين بسيطين $\ln$.
الشكل الكسري الجزئي لـ $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ هو...
ثابت واحد لكل عامل خطي مميز.
الكسور الجزئية تتطلب كسراً صحيحاً.
تعالج هذه الدروس مقامات تتحلل إلى عوامل ____ مميزة.
تتعالج هذه الدروس المقامات التي تُحلل إلى عوامل ____ مميزة.
عوامل خطية مميزة $(x-r)$.
الحل لإيجاد الثوابت
- اضرب الطرفين في المقام المشترك لتفريغ الكسور.
- ثم أوجد $A,B$ بمطابقة المعاملات أو بالتعويض بجذور المقام (اختصار سريع).
- بالنسبة لـ $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: عند $x=1$، $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$؛ عند $x=-2$، $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- الآن التكامل هو مجموع قطع بسيطة.
بالنسبة لـ $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$، أوجد $A$ (أدخل $x=1$).
عند $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
تكامل القطع
- كل $\dfrac{A}{x-r}$ يتكامل إلى $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- لذا يصبح تكامل كسري فوضوي مزيجاً من اللوغاريتمات.
- اجمعها أو اترك اللوغاريتمات كما تفضل الإجابة.
كل جزء من الشكل الكسري الجزئي $\dfrac{A}{x-r}$ يُكامل إلى...
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (مع $A=1$، $B=-1$) يساوي...
تكامل $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
الكسور الجزئية تتطلب أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام — إذا لم تكن كذلك، قم بـ القسمة المطولة أولاً. وتتطلب أيضاً أن يكون المقام قابلاً للتحليل فعلياً إلى قطع خطية؛ العامل المكرر $(x-r)^2$ أو التربيعي غير القابل للتحليل يحتاج حدوداً إضافية (ما وراء حالة هذا الدرس العوامل الخطية المستقلة). يحصل كل عامل مستقل على ثابت واحد بالضبط.
قيّم $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- افكك: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. عند $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$؛ عند $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
الكسور الجزئية تفصل دالة كسرية ذات عوامل خطية مستقلة إلى مجموع $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$؛ أوجد الثوابت (مطابقة المعاملات أو تعويض الجذور)، ثم تكامل كل جزء إلى $\ln$. تتطلب درجة البسط $<$ درجة المقام — قسّم أولاً وإلا.