حساب التكاملات غير العادية
| English | العربية |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | التكامل غير الصحيح |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | الحد اللانهائي |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | دالة التكامل غير محدودة |
التكامل على ما لا نهاية (أو غير المحدود)
- التكامل المحدد الطبيعي له حدود نهائية وكثافة تكامل نهائية. التكامل غير الصحيح يكسر أحد هذين الشرطين.
- طريقتان يجعلان التكامل غير صحيح: حد لا نهائي للتكامل (مثل $\int_1^\infty$)، أو تكامل غير محدود (تقارب عمودي داخل الفترة).
- لا يمكننا ببساطة "تعويض $\infty$" أو الحساب عند نقطة الانفجار، لذا نستخدم النهاية.
- يتقارب التكامل إذا كانت تلك النهاية عدداً finite، ويتباعد في حالة أخرى.
حدود التكامل لانهائية
حد لانهائي أو دالة تكامل غير محدودة → تكامل غير عادي.
يمكنك حساب التكامل غير العادي عن طريق التعويض المباشر بـ $\infty$ في المشتقة العكسية.
تقريب الحلول باستخدام طريقة أويلر
حدود لا نهائية → نهاية
- استبدل الحد اللانهائي بمتغير، وأعد التكامل، ثم دع المتغير يؤول إلى ما لا نهاية:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- احسب التكامل العادي حتى $b$، ثم خذ النهاية عندما $b\to\infty$.
- إذا كانت النهاية finite، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب إليها.
الذيل اللانهائي تحت 1/x²
y = 1/x²
المساحة تحت $1/x^2$ من $1$ إلى $\infty$ محدودة ($=1$) على الرغم من أن المنطقة لا تنتهي — وهو تكامل غير عادي متقارب.
يُعرَّف $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ بأنه...
إنه حد التكامل العادي.
تكامل غير محدود → نهاية عند نقطة المشكلة
- إذا كان $f$ ينفجر عند طرف $c$، فاقتربه منه باستخدام نهاية بدلاً من الحساب المباشر هناك:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (وبالمثل من الجانب الآخر).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ غير صحيح عند $0$ — خذ $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- نفس المبدأ: اقترب من التفرد باستخدام نهاية.
قيّم $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
تقارب أم تباعد
- يتقارب: النهاية عدد finite — هذا العدد هو القيمة.
- يتباعد: النهاية لانهائية أو غير موجودة — التكامل ليس له قيمة finite.
- زوج شهير: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ متباعد، لكن $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ متقارب (إلى $1$).
- الفرق — تكاملات تبدو متشابهة، مصير معاكس — هو جوهر المسألة.
يتقارب نحو $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → يتباعد.
نهاية محدودة → يتقارب.
حد محدود → يتقارب.
لا يمكنك التعامل مع التكامل غير الصحيح كعادي — تعويض $\infty$ أو نقطة انفجار بلا معنى. أعد كتابته دائماً كـ نهاية وقيّم تلك النهاية. واكتشف التفردات الداخلية: إذا انفجر التكامل داخل $[a,b]$، افصل التكامل عند تلك النقطة وعالج كل جزء على حدة.
قيّم $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- أعد الكتابة: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- النهاية finite، لذا التكامل يتقارب نحو $1$.
التكامل غير الصحيح له حد لا نهائي أو تكامل غير محدود. أعد كتابته كـ نهاية لتكامل صحيح: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (أو نهاية تؤول نحو تفرد). يتقارب إذا كانت النهاية finite، ويتباعد في غير ذلك.