التكامل باستخدام التكامل بالتجزئة
| English | العربية |
|---|---|
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | التكامل بالتجزئة |
قاعدة الضرب، عكسية
- عكس قاعدة السلسلة أعطى التعويض التفاضلي. ما الذي يعكس قاعدة الضرب؟ التكامل بالتجزئة.
- يتعامل مع تكاملات الضرب التي لا يمكن للتعويض حلها — مثل $\int x e^x\,dx$.
- الحيل: استبدل تكصيصاً صعباً بآخر أسهل بنقل المشتقة من عامل إلى الآخر.
- إنه أداة العمل الرئيسية في BC لمنتجات الدوال المختلفة.
التكامل بالتجزئة هو عكس أي قاعدة؟
إنها تلغي قاعدة الضرب.
الصيغة
- من قاعدة الضرب، بعد التكامل:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- تختار جزءاً من دالة التكامل لتكون $u$ (والذي ستقوم بـ تفاضله) والباقي ليكون $dv$ (والذي ستقوم بـ تكامله).
- ثم $du=u'\,dx$ و$v=\int dv$، وتجمع $uv-\int v\,du$.
حاصل ضرب للتكامل
y = a·e^{bx}
التكامل بالتجزئة يُبدّل $\int x e^x$ بـ $\int e^x$ الأسهل — بنقل المشتقة عن العامل الجبري.
صيغة التكامل بالتجزئة هي $\int u\,dv=$
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (انتبه للإشارة السالبة).
اختيار $u$ و$dv$ بحكمة
- هدف أن يكون التكامل الجديد $\int v\,du$ أسهل من الأصلي.
- أولوية مفيدة لـ $u$ (LIATE): Lوغاريتم، Iعكس جيب التمام، Aجبري، Tمثلثي، Eأسي — اختر $u$ من الأقدم في هذه القائمة.
- لذا في $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (جبري) و$dv=e^x\,dx$.
- الاختيار الجيد يُبسط المشكلة؛ الاختيار السيء يجعلها أسوأ.
لـ $\int x e^x\,dx$، خيار جيد هو $u=$
وفقاً لقاعدة LIATE، الجبري $x$ هو $u$؛ $dv=e^x\,dx$.
مفتاح ذاكرة شائع لاختيار $u$ هو ____ (L-I-A-T-E).
لوغاريتمي، دوال مثلثية عكسية، جبري، مثلثي، أسّي.
يجب اختيار $u$ و$dv$ بحيث يكون التكامل الجديد $\int v\,du$ أبسط من الأصلي.
التكامل باستخدام الكسور الجزئية الخطية
أحياناً كرر، وأحياناً حلق
- إذا كانت $\int v\,du$ لا تزال ضرباً، طبق التكامل بالتجزئة مرة أخرى.
- بالنسبة لـ $\int x^2 e^x\,dx$ ستستخدمه مرتين، مقشراً درجة واحدة من $x$ في كل مرة.
- بعض التكاملات (مثل $\int e^x\sin x\,dx$) تعود إلى الأصلية — احلها جبرياً.
- احتفظ بـ $u,du,v,dv$ مشخصاً بشكل نظيف لتجنب أخطاء الإشارات.
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
اختر $u$ و$dv$ بحيث تكون $\int v\,du$ أسهل — فإن الاختيار الخاطئ قد يجعل الأمر أكثر تعقيداً أو يوجهك في دوائر. لا تنسَ إشارة الطرح: الصيغة هي $uv-\int v\,du$. و$v$ هي أي دالة مضادة لـ$dv$ (تجاهل ثابتها $+C$ حتى نهاية النتيجة المحددة/غير المحددة).
قيّم $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- ليكن $u=x$، $dv=e^x\,dx$. ثم $du=dx$، $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
التكامل بالتجزئة يعكس قاعدة الضرب: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. اختر $u$ (للتفاضل) و$dv$ (للتكامل) — عبر LIATE — بحيث يكون $\int v\,du$ أسهل. انتبه للإشارة السالبة وطبقه مراراً (أو احل الحلقة) عند الحاجة.