تقريب المساحات باستخدام مجموع ريمان
| English | العربية |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | مجموع ريمان |
| left/left/ | يسار |
| right/raɪt/ | صحيح |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | منتصف |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | شبه المنحرف |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | قاعدة شبه المنحرف |
تقدير مساحة منحنية بالمستطيلات
- نادرًا ما تكون المساحة تحت منحنى مستطيلًا منتظمًا — لذا نقدرها باستخدام عدد كبير من المستطيلات الرفيعة.
- قسّم الفترة إلى شرائح، لبناء مستطيل على كل شريحة، وجمع مساحاتها.
- هذا مجموع مساحات المستطيلات هو مجموع ريمان.
- مستطيلات أكثر وأرفع → تقدير أفضل للمساحة الحقيقية.
المساحة التي نقدرها
y = x²
المستطيلات أو شبه المنحرف تمتلئ المساحة المظللة تحت المنحنى — المزيد والأشرطة الرقيقة تقدير أفضل.
استخدام المزيد من المستطيلات الرقيقة يحسن عادة تقدير مجموع ريمان.
الأشرطة الرقيقة تتابع المنحنى بشكل أفضل.
مستطيلات اليسار واليمين والنقطة الوسطى
- يأتي ارتفاع كل مستطيل من الدالة — لكن أين في الشريحة تقيسه؟
- مجموع اليسار: الارتفاع من الحافة اليسرى لكل شريحة.
- مجموع اليمين: الارتفاع من الحافة اليمنى.
- مجموع النقطة الوسطى: الارتفاع من المنتصف — عادةً الأكثر دقة بين الثلاثة.
لـ $f(x)=x^2$ على $[0,2]$ باستخدام $2$ مستطيلات يمين (عرض $1$): الارتفاعات $f(1)=1$، $f(2)=4$. أوجد مجموع ريمان الأيمن.
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
نفس الإعداد، لكن مجموع ريمان أيسر: الارتفاعات $f(0)=0$، $f(1)=1$. أوجدها.
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
أي منها طرق قياسية لاختيار ارتفاع مستطيل في مجموع ريمان؟
اليسار والوسط واليمين هي الخيارات القياسية.
شبه المنحرف يناسب بشكل أفضل
- بدلاً من مستطيل علوي مسطح، صل ارتفاعي الحافتين بسقف مائل: شبه منحرف.
- قاعدة شبه المنحرف متوسط ارتفاعي اليسار واليمين على كل شريحة.
- يلتصق بالمنحنى الناعم بشكل أقرب من المستطيلات، لذا فهو عادةً أكثر دقة.
- مساحة كل شبه منحرف $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
قاعدة ____ تستخدم قيعان مائلة (متوسط ارتفاع الحواف) لملاءمة أقرب من المستطيلات.
كل شبه منحرف يجمع بين الارتفاع الأيسر والأيمن.
تقدير زائد أم ناقص؟
- على دالة متزايدة: مجموعات اليسار تُقدّر أقل، ومجموعات اليمين تُقدّر أكثر.
- بالنسبة لدالة تناقصية: العكس هو الصحيح — يسار فوق، يمين تحت.
- خطأ قاعدة شبه المنحرف يعتمد على الانحناء (فوق في حالة التقعر للأعلى، تحت في حالة التقعر للأسفل).
- معرفة اتجاه الخطأ يسمح لك بتحديد حدود المساحة الحقيقية.
بالنسبة لدالة متزايدة، يعطي مجموع ريمان الأيسر...
ارتفاعات اليسار هي الحافة الأصغر على منحنى متزايد → تقدير ناقص.
قواعد المستطيل الثلاث يمكن أن تعطي إجابات مختلفة تمامًا لعدد قليل من الأشرطة — فهي تقريبات، وليست المساحة الدقيقة. وعملية ما إذا كان المجموع الأيسر أو الأيمن مفرغًا أو مُقلّلًا يعتمد على ما إذا كانت الدالة متزايدة أو متناقصة، وليس على القاعدة وحدها. تحقق دائمًا من سلوك الدالة.
قدّر المساحة تحت $f(x)=x^2$ على $[0,2]$ باستخدام $2$ مستطيل أيمن (عرض $1$).
- الارتفاعات اليمنى: $f(1)=1$ و$f(2)=4$.
- المجموع الأيمن $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (المساحة الحقيقية هي $\tfrac83\approx2.67$؛ بما أن $x^2$ متزايدة، فإن المجموع الأيمن مُفرغ — كما هو متوقع.)
المجموع الرايمان يُقارب المساحة بالمستطيلات: ارتفاعات يسرى، يمنى، أو وسط. تستخدم قاعدة شبه المنحرف قمم مائلة (متوسط ارتفاعات الحواف) لمحاولة أفضل. بالنسبة للدالة المتزايدة، تُقلّل المجموعات اليسرى وتُفرغ المجموعات اليمنى؛ كلما زاد عدد الأشرطة → تحسنت التقريبية.